2024.2.29 闲话

还有 4 周就要省选了，大家加油 .

疯狂星期四，28 年后再战 .

歌：well-done - Camelots feat. 初音ミク .

U 群好像有聊过这个，不过我也不是很懂其内核 .

比如算素数倒数和，Mertens 第二定理指出：

\[\sum_{p\le n}\dfrac1p\sim\log\log n \]

根据素数定理 \(\pi(n)\sim\dfrac n{\log n}\) 可以知道判断一个数是不是素数的函数 \(\operatorname{ip}(n)\sim\dfrac1{\log n}\)，则：

\[\sum_{p\le n}\dfrac 1p=\sum_{i=1}^n\dfrac{\operatorname{ip}(i)}i\sim\sum_{i=1}^n\dfrac1{i\log i}\sim\log\log n \]

（最后一步积分）

断言：

\(f\) 是数论函数，\(g,h\) 是满足如下条件的连续函数：

• \(g,h\) 是亚指数阶的，即 \(g(x)=\mathrm e^{o(x)}\)，\(h(x)=\mathrm e^{o(x)}\) .
• \(f\) 的平均阶为 \(h\) .
• \(g,h\) 比较正义（？）.

则：

\[\sum_{i=1}^nf(i)g(i)\sim\sum_{i=1}^nh(i)g(i) \]

因为注意到对于亚指数阶的函数 \(f\)，\(f'\) 比 \(f\) 低阶，所以 \(f(x+C)\sim f(x)\)，\(\Delta f\sim f'\)，且 \(\Sigma f\sim\int f\) .

所以：

\[\begin{aligned}\Sigma(fg)&=g\Sigma f-\Sigma(\mathsf E\Sigma f\Delta g)&\text{(Abel)}\\&\sim g{\textstyle\int}h-\Sigma(\Sigma f\Delta g)\\&\sim g{\textstyle\int}h-{\textstyle\int}(g'{\textstyle\int}h)\\&={\textstyle\int}(gh)\\&\sim\Sigma(gh)\end{aligned} \]

证明完毕 .

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