2024.2.29 闲话

还有 4 周就要省选了，大家加油 .

疯狂星期四，28 年后再战 .

歌：well-done - Camelots feat. 初音ミク .

U 群好像有聊过这个，不过我也不是很懂其内核 .

比如算素数倒数和，Mertens 第二定理指出：

$$\sum_{p\le n}\dfrac1p\sim\log\log n$$

根据素数定理 $\pi(n)\sim\dfrac n{\log n}$ 可以知道判断一个数是不是素数的函数 $\operatorname{ip}(n)\sim\dfrac1{\log n}$，则：

$$\sum_{p\le n}\dfrac 1p=\sum_{i=1}^n\dfrac{\operatorname{ip}(i)}i\sim\sum_{i=1}^n\dfrac1{i\log i}\sim\log\log n$$

（最后一步积分）

断言：

$f$ 是数论函数，$g,h$ 是满足如下条件的连续函数：

• $g,h$ 是亚指数阶的，即 $g(x)=\mathrm e^{o(x)}$，$h(x)=\mathrm e^{o(x)}$ .
• $f$ 的平均阶为 $h$ .
• $g,h$ 比较正义（？）.

则：

$$\sum_{i=1}^nf(i)g(i)\sim\sum_{i=1}^nh(i)g(i)$$

因为注意到对于亚指数阶的函数 $f$，$f'$ 比 $f$ 低阶，所以 $f(x+C)\sim f(x)$，$\Delta f\sim f'$，且 $\Sigma f\sim\int f$ .

所以：

$$\begin{aligned}\Sigma(fg)&=g\Sigma f-\Sigma(\mathsf E\Sigma f\Delta g)&\text{(Abel)}\\&\sim g{\textstyle\int}h-\Sigma(\Sigma f\Delta g)\\&\sim g{\textstyle\int}h-{\textstyle\int}(g'{\textstyle\int}h)\\&={\textstyle\int}(gh)\\&\sim\Sigma(gh)\end{aligned}$$

证明完毕 .

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