2024.2.23 闲话

歌：シンデレラ・マジック・ステージ - 茅野ふたば feat. 堀越せな .

额，这我编的，别 d 我

有些时候突然意识到可以收到我的犇犇推流的人都有什么样的 .

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仔细看了一眼 EI 给 Saalschütz 恒等式的证明，还是很简洁的 .

抄一份过来 . Saalschütz 恒等式的反演：

$$\sum_i(-1)^i\dbinom{m+n}{m+i}\dbinom{n+k}{n+i}\dbinom{k+m}{k+i}=\dbinom{n+m+k}{n,m,k}$$

注意到左边的一种生成函数描述：

$$\sum_{a,b,c}(-1)^{a+b+c}\dbinom{m+n}a\dbinom{n+k}b\dbinom{k+m}cx^ay^bz^c=\left(1-\frac xz\right)^{m+n}\left(1-\frac yx\right)^{n+k}\left(1-\frac zy\right)^{k+m}$$

MacMahon 主定理

$$[\bm x^{\bm k}]\prod_{i=1}^n\left(\sum_{i=1}^n\mathbf A_{i,k}\bm x_k\right)^{\bm k_i}=[\bm x^{\bm k}]\operatorname{det}(\mathbf I-\operatorname{diag}(\bm x)\mathbf A)^{-1}$$

则：

$$\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=(-1)^{m+n+k}[x^{m-n}y^{n-k}z^{k-m}]\left(1-\frac xz\right)^{m+n}\left(1-\frac yx\right)^{n+k}\left(1-\frac zy\right)^{k+m}\\&=(-1)^{m+n+k}[x^{k+m}y^{m+n}z^{n+k}](y-z)^{k+m}(z-x)^{m+n}(x-y)^{n+k}\\&=(-1)^{m+n+k}[x^{k+m}y^{m+n}z^{n+k}]\begin{vmatrix}1&-x&x\\y&1&-y\\-z&z&1\end{vmatrix}^{-1}\\&=(-1)^{m+n+k}[x^{k+m}y^{m+n}z^{n+k}](1+xy+yz+zx)^{-1}\\&=(-1)^{m+n+k}[u^mv^nw^k](1+u+v+w)^{-1}\\&=\dbinom{m+n+k}{m,n,k}\\&=\mathrm{RHS}\end{aligned}$$

也不知道多元拉反什么时候用 . 式子 MacMahon 主定理操作一下就变得正义了（

评价：How Elegia's mind works?

回看了一下写成 $_3F_2$ 好像也挺直接的 .

唉，又水一篇 . 贺闲话高手 . 不过有人来看 2.20 闲话吗（