2024.2.21 闲话

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歌：Pipo Pipo - Serani Poji .

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\[\sigma_k(nm)=\sum_{x\mid n}\sum_{y\mid m}[x\perp y]\left(\dfrac{ny}x\right)^k \]

证明：

因为积性所以只需要考虑素数幂处的值，考虑 \(p^a\cdot p^b\) 处：

\[\begin{aligned}R&=\sum_{i=0}^{a-1}p^{ik}+p^{ka}\sum_{i=0}^bp^{ik}\\&=\sum_{i=1}^{a}p^{k(a-i)}+p^{ka}\sum_{i=0}^bp^{ik}\\&=\sum_{i=0}^a\sum_{j=0}^b[\min(i,j)=0]p^{k(a-i)}p^{kj}\end{aligned} \]

还原到数上即得原式 .

今天是波奇酱的生日，转发到五个群聊，你就可以和她一样社恐和可爱且高技术力，我试过了，不知道为什么只有前者实现了，但是今天真的是波奇酱的生日，让我们祝她生日快乐。

upd. 高维也一样做：

\[\sigma_k\left(\prod_{i=1}^ra_i\right)=\sum_{d_1\mid a_1}\sum_{d_2\mid a_2}\cdots\sum_{d_r\mid a_r}\left(\prod_{i=1}^rd_i\right)^k\prod_{i=1}^r\left[d_i\perp\dfrac{a_{i\bmod r+1}}{d_{i\bmod r+1}}\right] \]