think-cell Round 1 题解 (A~F)

think-cell Round 1 .

目录

A. Maximise The Score

排序后输出所有奇数位之和 .

B. Permutation Printing

$1,n,2,n-1\cdots$ .

C. Lexicographically Largest

注意到对于一个 $a_i$ 来说 $[a_i+1,a_i+i]$ 中的所有数都可以被选中，那么问题变给若干区间，每个区间选一个数要求组成的集合字典序最大 .

从大到小扫描每次能选则选即可 . 具体实现中可以按右端点排序扫一遍依次检查能不能选当前区间 .

D. Sum over all Substrings

注意到对于一个 $p$-good 的串 $q$，如果 $q_i=\tt1$ 那么它可以提供 $p_{i-1},p_i,p_{i+1}$ 作为 $\tt1$ 的区间，这样隔 3 个放一个则可以知道对于一个不包含 $\tt 000$ 的段来说其答案就是 $\lceil\frac{len}3\rceil$ . 暴力计算每一个子区间的答案即可通过 Easy Version .

对于 Hard Version，令 $dp_i$ 表示 $[i,n]$ 所有前缀的答案，考虑在开头加一个字符的影响：

• $p_i=\tt 0$：并没有什么影响，$dp_i=dp_{i+1}$ .
• $p_i=\tt 1$：可以设置 $q_{i+1}=\tt1$ 来覆盖当前位，$dp_i=dp_{i+3}+(n-i+1)$ .

那么就 $\Theta(n)$ 解决问题了 .

E. 2..3...4.... Wonderful! Wonderful!

考虑如何判定一种最终局面能否被达成，考虑用一个长度为 $n$ 的 01 串 $s$ 表示，其中 $s_i=0$ 则表示最终的序列中保留 $i$，反之则是 $i$ 被删除 .

断言：$s$ 合法当且仅当 $s_i$ 中存在一个 0 使得左右都有至少 $k$ 个 1 且 1 的个数是 $2k$ 的倍数 .

证明：

• 如果这个 0 左右都有 $k$ 个 1，直接操作一次即可 .
• 如果 $s$ 中共有 $4k$ 个 1，以 1 多的一侧中中的某个 1 为中心操作一次即可归约至上一个情况 .
• 其他情况，在某一侧随便只用 1 操作一次即可让对应侧 1 的个数减 $2k$，不断进行操作即可归约至上一个情况 .

从而证明完毕 .

那么枚举 $k$ 和剩下的元素数量 $x$，单步容斥然后插板即可得出方案数为 $\binom nx-\binom{x+2k-1}x$，可以简单计算 . 因为总枚举量是调和级数的所以时间复杂度为 $\Theta(n\log n)$ .

F. Maximize the Difference

先考虑如何计算 $f(b)$，固定 max 和 min 的取值 $b_i,b_j$ 后考察 $\max_x\{(b_i\mathop{\rm or}x)-(b_j\mathop{\rm or}x)\}$，按位考虑，不难发现只有 $b_i$ 对应位为 0、$b_j$ 对应位为 1 时或 $x$ 这个操作才可能产生贡献，那么可以得到此时的答案就是 $b_i\mathop{\rm and}\text{~}b_j$，其中 $\text{~}x$ 是 $x$ 按位取反后的值 .

那么就是要支持末尾插入，查询 $\max\limits_{i,j}\{b_i\mathop{\rm and}\text{~}b_j\}$ . 考虑到 $\sum n$ 有限制，维护集合 $A,B$ 表示当前的 $b_i$ 和 $\text{~}b_i$ 二进制下所有子集组成的集合 . 每次插入的时候动态维护 $A,B$，均摊下来最多进行 $n$ 次插入，插入的时候动态维护 $A\cap B$ 中元素的最大值即可 .

时间复杂度 $O(\sum n+\sum q)$ .