2024.2.17 闲话

歌：リペル - ざんぎ feat. 初音ミク .

若 $n$ 的标准分解 $\displaystyle n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}$，则定义 $S(n)$ 是 $\alpha_i$ 组成的可重集合 (prime signature) .

求证：$S(1\dots n)$ 组成的集合大小 $z$ 是 $o(\sqrt n)$ 级别的 .

注意到 $z=\Omega(\operatorname{partition}(\frac{\log n}{\log\log n}))$，所以只需要考察：

$$R=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\operatorname{partition\Big(\frac{\log n}{\log\log n}\Big)}}{\sqrt n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\frac1{4\frac{\log n}{\log\log n}\sqrt3}\operatorname{exp}\Big(\pi\sqrt{\frac{2\log n}{3\log\log n}}\Big)}{\sqrt n}=0$$

证明完毕 .

upd. 更精确的答案是 $z\sim\operatorname{exp}\Big(\frac{2\pi+o(1)}{\sqrt3}\sqrt{\frac{\log n}{\log\log n}}\Big)$，详细资料可见 [5] .

这个结论能处理的问题是递归：

$$f_n=v\sum_{d\mid n}f_d$$

求前 $n$ 项 . 因为 $S$ 一样的数 $f$ 也一样，所以只需要处理 $o(\sqrt n)$ 个数的答案，分别根号算即可 . 总共是 $\Theta(n)$ 的，这里瓶颈在其他地方 . 有例子 LOJ #6714 .

Reference:

• [1] Private conversation with UserUnauthorized .
• [2] Private conversation with APJifengc .
• [3] Private conversation with joke3579 .
• [4] 社论 - 讨论 - LibreOJ .
• [5] A025487 - OEIS .