2024.2.17 闲话

歌：リペル - ざんぎ feat. 初音ミク .

若 \(n\) 的标准分解 \(\displaystyle n=\prod_{i=1}^kp_i^{\alpha_i}\)，则定义 \(S(n)\) 是 \(\alpha_i\) 组成的可重集合 (prime signature) .

求证：\(S(1\dots n)\) 组成的集合大小 \(z\) 是 \(o(\sqrt n)\) 级别的 .

注意到 \(z=\Omega(\operatorname{partition}(\frac{\log n}{\log\log n}))\)，所以只需要考察：

\[R=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\operatorname{partition\Big(\frac{\log n}{\log\log n}\Big)}}{\sqrt n}=\lim_{n\to+\infty}\dfrac{\frac1{4\frac{\log n}{\log\log n}\sqrt3}\operatorname{exp}\Big(\pi\sqrt{\frac{2\log n}{3\log\log n}}\Big)}{\sqrt n}=0 \]

证明完毕 .

upd. 更精确的答案是 \(z\sim\operatorname{exp}\Big(\frac{2\pi+o(1)}{\sqrt3}\sqrt{\frac{\log n}{\log\log n}}\Big)\)，详细资料可见 [5] .

这个结论能处理的问题是递归：

\[f_n=v\sum_{d\mid n}f_d \]

求前 \(n\) 项 . 因为 \(S\) 一样的数 \(f\) 也一样，所以只需要处理 \(o(\sqrt n)\) 个数的答案，分别根号算即可 . 总共是 \(\Theta(n)\) 的，这里瓶颈在其他地方 . 有例子 LOJ #6714 .

Reference:

• [1] Private conversation with UserUnauthorized .
• [2] Private conversation with APJifengc .
• [3] Private conversation with joke3579 .
• [4] 社论 - 讨论 - LibreOJ .
• [5] A025487 - OEIS .