2024.2.16 闲话

歌：ココロスイート - KIRATORA feat. 初音ミク .

放闲话里吧，记一下这个 . 竟然真的用到了 .

记 $\mathrm Sf$ 是 $f$ 的前缀和，除法默认整除 .

Dirichlet 双曲线法：$f*g=h\implies$

$$\mathrm Sh(n)=\sum_{i=1}^{\sqrt n}f(i)\mathrm Sg(n/i)+\sum_{i=1}^{\sqrt n}g(i)\mathrm Sf(n/i)-\mathrm Sf(\sqrt n)\mathrm Sg(\sqrt n)$$

这个问题其实就是整除分块一般求解的问题 . 可以发现这个用来做块筛卷积也是可以的，复杂度是 $O(n^{3/4})$ .

移项可以得到非递归杜教筛：$f*g=h\implies$

$$\mathrm Sf(n)=\mathrm Sh(n)-\sum_{i=1}^{\sqrt n}f(i)\mathrm Sg(n/i)-\sum_{i=2}^{\sqrt n}g(i)\mathrm Sf(n/i)+\mathrm Sf(\sqrt n)\mathrm Sg(\sqrt n)$$

其实这个大概可以做半在线 Dirichlet 卷积了 .

上面 $\sqrt n$ 的取整方向一样即可 .

这里有一个关键优化是整除 $\lfloor\frac nx\rfloor=\lfloor n\cdot\frac1x\rfloor$，倒数可以预处理因为分母理论上只到根号级别，每次做浮点乘法比整数除法快 .

如果能预处理小的部分可以到 $O(n^{2/3})$ 左右，一般应该是个 $\tilde O(n^{2/3})$ 的形态 .

这样做杜教筛的部分就会快很多了 .

不过常数明显优秀的算法却没什么人写（可能是都没听过这种）. 比较矛盾的现象 .

摆