2024.2.15 闲话

serimrc .

歌：GAME：CHANGER - uma vs. ガリガリさむし .

后文可能比较混乱 .

根据 rqy 的一些指点，下面指出对数论中常用的 R-S 积分估阶方法的精细实现 .

后文 $p$ 是素数 . 所有 $\approx$ 都是低阶误差 .

例 (NaCly_Fish)

估计 $\displaystyle f(n)=\sum_{p\le n}\dfrac1{\ln p}$ .

Solution 1

$$\begin{aligned}f(n)&\approx\int_2^n\dfrac1{\ln x}\mathrm d\pi(x)\\&=\dfrac n{(\ln n)^2}-\int_2^n\pi(x)\mathrm d\dfrac1{\ln x}\\&=\dfrac n{(\ln n)^2}+\int_2^n\dfrac1{(\ln x)^3}\mathrm dx\\&\approx\dfrac n{(\ln n)^2}+\dfrac{\operatorname{li}(n)}2-\dfrac n{2(\ln x)^2}-\dfrac n{2\ln n}\end{aligned}$$

通过 $\operatorname{li}(x)$ 的一种展开：

$$\operatorname{li}(x)=\dfrac x{\ln x}\sum_{k\ge0}\dfrac{k!}{(\ln x)^k}$$

可以估到任意阶的 $\dfrac n{(\ln n)^k}$ .

Solution 2

积分还是有点太邪恶了，对于求和有 Abel 求和法代替分部积分：

$$\begin{aligned}f(n)&=\sum_{i=2}^n\dfrac1{\ln i}\delta\pi(i)\\&\approx\dfrac n{(\ln n)^2}+\sum_{i=2}^n\dfrac1{(\ln i)^3}\\&=\dfrac n{(\ln n)^2}+O\left(\dfrac n{(\ln n)^3}\right)\end{aligned}$$

每次做 $\displaystyle\sum_{i=2}^n\dfrac1{(\ln i)^k}\approx\sum_{i=2}^n\dfrac1{(\ln i)^{k-1}}\delta\dfrac i{\ln i}$ 然后 Abel 变换即可得到任意阶近似 .