2024.2.9 闲话

joke3579 歌：初恋日記 - 香椎モイミ feat. 音街ウナ .

Kaguya 问了一个题，如何计算：

\[F_n(x)=\sum_{i=1}^n\dfrac{x^i}i \]

显然问题的核心在于计算不定积分：

\[\int\dfrac{1-x^n}{1-x} \]

这类积分被称作 Chebyshev 积分，下面来尝试解决一般的 Chebyshev 积分：

\[B(x;1+p,1+q)=\int x^p(1-x)^q\mathrm dx \]

断言：

\[B(x;1+p;1+q)=\dfrac{x^{1+p}}{1+p}{}_2F_1(1+p,-q;2+p;x) \]

可以求导验证一下：

\[\begin{aligned}D&=\dfrac{\partial}{\partial x}\dfrac{x^{1+p}}{1+p}{}_2F_1(1+p,-q;2+p;x)\\&=x^p{}_2F_1(1+p,-q;2+p;x)+\dfrac{x^{1+p}}{1+p}\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}{}_2F_1(1+p,-q;2+p;x)\\&=x^p{}_2F_1(1+p,-q;2+p;x)-\dfrac{x^{1+p}q}{p+2}\,{}_2F_1(2+p,1-q;3 +p;x)\\&=x^p(1-x)^q\end{aligned} \]

从而证明完毕 .

正攻的手法我一直都不会 . 摆了 .

有误请指出 . 除了不定积分没 \(+C\) .