2024.2.7 闲话

歌：DDDDance! (Full ver.) - magens feat. 初音ミク ,

fumo 看闲话

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U 群的题，joke3579 给的：

令 \(\displaystyle a_n=\sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{(i + 1)!}\binom ni={}_1F_1(-n;2;1)\)，求证：\(\displaystyle\sum_{n\ge1}a_n=0\) .

白给恒等式

因为作者是民科所以可能记号用的比较混乱，体谅一下 . 我了解到的大概有两种做法：

Solution 1

注意到 \(\displaystyle t_n=\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{(i+1)!}\) 的 OGF 是 \(T(z)=\dfrac{1-\mathrm e^{-x}}x\)，所以 \(a_n\) 的 OGF：

\[A(z)=\dfrac1{1-z}T\left(\dfrac z{1-z}\right)=\dfrac{1-\exp\left(\frac z{z-1}\right)}z \]

则：

\[\sum_{n\ge0}a_n=A(z)\Big|_{z=1}=\lim_{z\to1^-}\dfrac{1-\exp\left(\frac z{z-1}\right)}z=1 \]

所以 \(\displaystyle\sum_{n\ge1}a_n=0\) .

补充说明

这里关于极限取 \(1^-\) 可能理论比较深刻，\(z=1\) 是函数 \(F(z)=\dfrac{1-\exp\left(\frac z{z-1}\right)}z\) 的本征奇点，所以取哪边的极限是比较重要的 . 这里通过 Abel 的一些定理可以知道 \(F(z)\) 在单位圆盘上收敛，但是能否把奇点补上的问题就比较神秘 . EI 等人有一些高论然而我并没有看懂 . 截了一段：

聊天记录

Solution 2

拜谢 joke3579 .

如果没有除以阶乘这个操作那么 OGF 可以简单刻画，考虑用（形式）Laplace-Borel 变换刻画：

\[F(z)=\sum_{i=1}^nz(1-z)^n=1-z\qquad\hat F(z)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}F(z\mathrm e^{-\mathrm i\theta})\mathrm e^{\mathrm e^{\mathrm i\theta}}\mathrm d\theta \]

则：

\[\sum_{n\ge1}a_n=\dfrac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\mathrm e^{e^{\mathrm i\theta}}（1-\mathrm e^{-\mathrm i\theta})\mathrm d\theta=0 \]

现已加入不务正业豪华套餐 .

补充说明

这里 Laplace-Borel 变换先用再前缀和就有一些神秘的问题，而先前缀和再 Laplace-Borel 变换就正好落在收敛区间里 .

正如 401rk8 所说，「想赢就会输」啊 .

感谢 joke3579, Wolfram | Alpha, Mathematica 的指导！