2024.2.5 闲话

歌：恐竜電力の街 - シャノン feat. GUMI + 初音ミク .

2023.10.27 闲话

证明：

$$\sum_{i=1}^ni^k\cdot\varphi(i)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\cdot i^k\cdot S_{k+1}\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)$$

其中 $S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k$ 是自然数幂和 .

注意到左边的 DGF 就是欧拉函数的 DGF 平移，也就是 $\dfrac{\zeta(z-1-k)}{\zeta(z-k)}$ .

从而有 Dirichlet 卷积关系：$\varphi\cdot\mathrm{Id}_k=\mathrm{Id}_{k+1}*(\mu\cdot\mathrm{Id}_k)$ .

两边同时前缀和即可 .

这么想好像很多 DGF 的式子都能直接整上一个平移啊 .