2024.2.4 闲话

歌：NeruNeru-Chan travels to the Luminous Stars! - Halv .

分割线

如果你在某些代数系统中需要使用单位根 $\omega$，然而单位根在对应系统中不存在，该如何处理？

一种 naive 的想法：扩域把 $\omega$ 加进去，然而复杂度非常高 .

对于代数系统 $\mathcal A$，考虑扩域 $\mathcal I_n=\mathcal A[\omega_n]$，则断言：

$$\mathcal I_n\cong\mathcal A[x]/\langle\Phi_n(x)\rangle$$

其中 $\Phi_n$ 是分圆多项式 .

这也就表明两个带着 $\omega_n$ 的东西的运算相当于对应的多项式运算最后对分圆多项式 $\Phi_n(x)$ 取模 .

结论可以由 $\Phi_n(x)$ 是 $\omega_n$ 的最小多项式简单证明 .

对于取模的具体计算，由于 $\Phi_n(x)\mid(x^n-1)$，在过程中可以先对 $x^n-1$ 取模，最后再修正到 $\Phi_n(x)$ .

下面的内容可能和上文关系不大 . 但是上面的做法一般不容易有什么应用 .

考察多项式乘法在不存在单位根，但是可以做除法的情况 .

首先分析 DFT 的时间复杂度：

Lemma 1

假设 $n=s^r$，$v=s^u$，$u\ge r$，则对系数在 $\mathcal I_v$ 中的多项式做长为 $n$ 的 DFT 的时间复杂度不超过 $O(snvr)$ .

证明平凡不表 .

Lemma 2

做两个度不超过 $n$ 的多项式 $A(x),B(x)$ 的乘法需要 $O(n\log n)$ 次乘法和 $O(n\log n\log\log n)$ 次加法 .

令 $m=s^r$ 满足 $\varphi(m)>\deg A+\deg B$ . 考虑不计算 $A(x)B(x)$，而计算 $A(\omega_m)B(\omega_m)$（因为这里是要对素多项式 $\Phi_m(x)$ 取模，由 $\deg\Phi_m(x)=\varphi(m)>\deg A+\deg B$ 所以这个转化是可以成立的，最后只需要把单位根换成 $x$ 即可）.

换言之，我们现在对 $\mathcal I_m[x]/\langle x-\omega_m\rangle$ 上的元素做乘法 .

令 $p=s^u$，$q=s^v$ 且 $u+v=r$，$v+1\le u\le v+2$，考察：

$$\begin{aligned}A(x)&=\sum_{j=0}^{q-1}x^j\sum_{i=0}^{\varphi(p)-1}a_{iq+j}x^{iq}\\&=\sum_{j=0}^{q-1}x^j\sum_{i=0}^{\varphi(p)-1}a_{iq+j}\omega_m^{iq}\\&=\sum_{j=0}^{q-1}x^j\sum_{i=0}^{\varphi(p)-1}a_{iq+j}\omega_p^i\end{aligned}$$

把内层 $\sum$ 看成系数然后对外层做 DFT 即可 .

因为这里相当于在 $\mathcal I_p[x]$ 上做 DFT 所以可以用上一个 Lemma 分析复杂度 .

DFT 的复杂度不超过 $O(spqr)=O(snr)$，所以取充分小的 $s$ 即可做到 $O(n\log n)$ 次加法 .

对于乘法可以递归调用上述过程 .

加法：$T(n)=\sqrt n\cdot T(\sqrt n)+O(n\log n)=O(n\log n\log\log n)$ .

乘法：$T(n)=\sqrt n\cdot T(n)+O(1)=O(n\log n)$ .

（根据一般 DFT 的经验，这里的复杂度应该是 $\Theta$ 的）

Reference：如何在任意代数结构上做多项式乘法 - whx1003 .

Upd. 应用：$k$-FWT（不进位加法） - [CmdOI2019] 算力训练 .