2024.2.3 闲话

歌:Twilight Light - とあ feat. 初音ミク + 鏡音リン .

(μId)1(点乘)竟然和 φ 是 Dirichlet 卷积逆,呃呃 .

meme(?)

发现一个相对有意思的,响应一下当前高三学数论的潮流

定义长度为 k 的序列 {a} 的权值为 f(gcd(a)),求随机长度为 k 的序列权值的期望 .

那么就是要计算:

E=limn1nka1=1na2=1nak=1nf(gcd(a1,a2,,ak))=limn1nki=1n(fμ)(i)ndk=limni=1n(fμ)(i)ik

所以我们计算的实际上是 fμ 的 DGF .

实际上在极限意义下把整除删掉还是很有意义的:

问题:计算无 k 次方因子数的密度 ρ .

ρ=limn1ni=1nμ(d)ndk=limni1μ(d)ik=1ζ(k)

第一步是容斥,最后一步是 DGF .

k=2 时就是某个原神题的结论了 .

image

发现以前整的东西都是 trivial,不过一般也很难整出不 trivial 的东西吧 .

posted @   yspm  阅读(110)  评论(2编辑  收藏  举报
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