2024.2.3 闲话

歌：Twilight Light - とあ feat. 初音ミク + 鏡音リン .

$(\mu\cdot\mathrm{Id})*1$（点乘）竟然和 $\varphi$ 是 Dirichlet 卷积逆，呃呃 .

meme（？）

发现一个相对有意思的，响应一下当前高三学数论的潮流：

定义长度为 $k$ 的序列 $\{a\}$ 的权值为 $f(\gcd(a))$，求随机长度为 $k$ 的序列权值的期望 .

那么就是要计算：

$$\begin{aligned}E&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^k}\sum_{a_1=1}^n\sum_{a_2=1}^n\cdots\sum_{a_k=1}^nf(\gcd(a_1,a_2,\cdots,a_k))\\&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1{n^k}\sum_{i=1}^n(f*\mu)(i)\left\lfloor\dfrac nd\right\rfloor^k\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i=1}^n\dfrac{(f*\mu)(i)}{i^k}\end{aligned}$$

所以我们计算的实际上是 $f*\mu$ 的 DGF .

实际上在极限意义下把整除删掉还是很有意义的：

问题：计算无 $k$ 次方因子数的密度 $\rho$ .

$$\begin{aligned}\rho&=\lim_{n\to\infty}\dfrac1n\sum_{i=1}^n\mu(d)\left\lfloor\dfrac n{d^k}\right\rfloor\\&=\lim_{n\to\infty}\sum_{i\ge1}\dfrac{\mu(d)}{i^k}\\&=\dfrac1{\zeta(k)}\end{aligned}$$

第一步是容斥，最后一步是 DGF .

$k=2$ 时就是某个原神题的结论了 .

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发现以前整的东西都是 trivial，不过一般也很难整出不 trivial 的东西吧 .