2024.1.11 闲话

歌：Fave - Spacelectro feat. ももかみ .

学 OI 的男生真的很下头

上个星期我们班刚迎来一批新人，有个男生，长得不丑也不好看。普通学生长相，带着黑框眼镜，穿什么衣服都像是校服，个子也不高，看起来 175 都不到。人倒是挺热情，我们有不懂的数学题都会去问他。上次我问了他一道计数题，他跟我说这道题在《具体数学》里很多变式题，还细心挑出来整理好了发给我，最后弄到自己专题训练没做完，第二天被教练 D 了。

昨天我和班里的人聊天的时候，突然提起他，结果我身边的女同学一个个都很嫌弃他。虽然不可否认他学习很努力，成绩也挺高，性格也挺好。但因为人本来长得就不咋地，还见缝插针地给我们讲 OI 题，天天把数据结构和算法挂在嘴边，说自己的偶像就是 APJ，反而让我们觉得他有点恶心。

其实我们班里也有和他一样的奥赛生，但好歹人家是学物理的，我恨不得想学点量子力学。而这位，我真的好无语，人丑还学 OI。

所以中学生如果天生硬件不好，千万别学 OI，不然会让女生更加厌恶。

（最好不要连用两个 details，所以中间有一行话）

Alpha1022 题

UPD. 好像不太对

没咋推过这类的，猜了一个做法，不知道对不对：

问题： $n\times n$ 矩阵 $M_{i,j}=[i=j]-\sin(i+j)$ ，求 $\det(M)$ .

令 $A_{i,j}=\sin(i+j)=\sin(i)\cos(j)+\sin(j)\cos(i)$ ，向量 $\bm s=[\sin1,\sin2,\cdots,\sin n]^{\mathsf T},\, \bm c=[\cos1,\cos2,\cdots,\cos n]^{\mathsf T}$ 则：

det (M) = det (I - A) = det (I - s^{T} c - c^{T} s)

$\det(M)=\det(I-A)=\det(I-\bm s^{\mathsf T}\bm c-\bm c^{\mathsf T}\bm s)$

考察 $K=\bm s^{\mathsf T}\bm c$ ，因为 $K$ 和 $K^{\mathsf T}$ 相似，从而它们具有相同的特征多项式：

p_{K} (x) = x^{n - 1} (x - \sum_{i = 1}^{n} \sin (i) \cos (i)) = x^{n - 1} (x - \frac{\csc (1) \sin (n) \sin (n + 1)}{2})

$p_K(x)=x^{n-1}\left(x-\sum_{i=1}^n\sin(i)\cos(i)\right)=x^{n-1}\left(x-\frac{\csc(1)\sin(n)\sin(n+1)}2\right)$

也就是 $K$ 和 $K^{\mathsf T}$ 都有非零特征值 $\frac{\csc(1)\sin(n)\sin(n+1)}2$ ，那么 $A=K+K^{\mathsf T}$ 也至少有特征值 $\frac{\csc(1)\sin(n)\sin(n+1)}2$ （可以根据定义得出）.

又矩阵的迹必然为矩阵的特征值，故 $A$ 有特征值

tr (A) = \sum_{i = 1}^{n} \sin (2 i) = \csc (1) \sin (n) \sin (n + 1)

$\operatorname{tr}(A)=\sum_{i=1}^n\sin(2i)=\csc(1)\sin(n)\sin(n+1)$

考察 $\sin(x)+\sin(x+2)=2\cos(x)\sin(x+1)$ ，从而 $\operatorname{rank}(A)=2$ ，那么上述两特征值即为 $A$ 的全部特征值 . 所以可以得到答案：

det (M) = p_{- A} (1) = (1 - \csc (1) \sin (n) \sin (n + 1)) (1 - \frac{\csc (1) \sin (n) \sin (n + 1)}{2})

$\det(M)=p_{-A}(1)=(1-\csc(1)\sin(n)\sin(n+1))\left(1-\dfrac{\csc(1)\sin(n)\sin(n+1)}2\right)$

$n$ 较小的情况可能需要特判 .

碱式碳酸铜受热易分解，尝试考察 $\sigma_k$ DGF 的部分和估计：

D_{t, s} (x) = \sum_{n \leq x} \frac{σ_{t} (n)}{n^{s}}

$D_{t,s}(x)=\sum_{n\le x}\dfrac{\sigma_t(n)}{n^s}$

首先考察一些特殊情况：

$s=0$ ：

\begin{aligned} D_{t, 0} (x) & = \sum_{n \leq x} σ_{t} (n) \\ = \sum_{n \leq x} ⌊ \frac{x}{n} ⌋ n^{t} \\ = {\begin{cases} Θ (x \log x) & t = 0 \\ Θ (x^{t + 1}) & t > 0 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{aligned}D_{t,0}(x)&=\sum_{n\le x}\sigma_t(n)\\&=\sum_{n\le x}\left\lfloor\dfrac xn\right\rfloor n^t\\&=\begin{cases}\Theta(x\log x)&t=0\\\Theta(x^{t+1})&t>0\end{cases}\end{aligned}$

$s=1$ ：

\begin{aligned} D_{t, 1} (x) & = \sum_{n \leq x} \frac{σ_{t} (n)}{n} \\ \sim \frac{1}{x} \sum_{n \leq x} σ_{t} (n) ⌊ \frac{x}{n} ⌋ \\ = \frac{1}{x} \sum_{n \leq x} σ_{t + 1} (n) \\ = \frac{D_{t + 1, 0} (x)}{x} \\ = Θ (x^{t}) \end{aligned}

$\begin{aligned}D_{t,1}(x)&=\sum_{n\le x}\dfrac{\sigma_t(n)}n\\&\sim\dfrac1x\sum_{n\le x}\sigma_t(n)\left\lfloor\dfrac xn\right\rfloor\\&=\dfrac1x\sum_{n\le x}\sigma_{t+1}(n)\\&=\dfrac{D_{t+1,0}(x)}x\\&=\Theta(x^t)\end{aligned}$

后面推导 $s>1$ 的情况，这里假定 $\sigma_{-1}(n)=1$ ：

\begin{aligned} D_{t, s} (x) & = \sum_{n \leq x} \frac{σ_{t} (n)}{n^{s}} \\ = \sum_{k \leq x} \frac{σ_{t - 1} (k)}{k^{s}} \sum_{d \leq x / k} d^{- s} \\ = \sum_{k \leq x} \frac{σ_{t - 1} (k)}{k^{s}} (ζ (s) - \sum_{d > x / k} d^{- s}) \\ = \sum_{k \leq x} \frac{σ_{t - 1} (k)}{k^{s}} (ζ (s) + \frac{(x / k)^{1 - s}}{1 - s} + O ((x / k)^{- s})) \\ = ζ (s) \sum_{k \leq x} \frac{σ_{t - 1} (k)}{k^{s}} + \frac{x^{1 - s}}{1 - s} \sum_{k \leq x} \frac{σ_{t - 1} (k)}{k} + O (x^{- s} \sum_{k \leq x} σ_{t - 1} (k)) \\ \sim ζ (s) D_{t - 1, s} (x) + \frac{x^{1 - s}}{1 - s} D_{t - 1, 1} (x) + O (\frac{D_{t - 1, 0} (x)}{x^{s}}) \\ = {\begin{cases} ζ^{2} (s) + \frac{x^{1 - s} \log x}{1 - s} + O (x^{1 - s}) & t = 0 \\ ζ (s) D_{t - 1, s} (x) + \frac{x^{1 - s}}{1 - s} + O (x^{1 - s} \log x) & t = 1 \\ ζ (s) D_{t - 1, s} (x) + \frac{x^{t - s}}{1 - s} + O (x^{t - s}) & t > 1 \end{cases} \end{aligned}

$\begin{aligned}D_{t,s}(x)&=\sum_{n\le x}\dfrac{\sigma_t(n)}{n^s}\\&=\sum_{k\le x}\dfrac{\sigma_{t-1}(k)}{k^s}\sum_{d\le x/k}d^{-s}\\&=\sum_{k\le x}\dfrac{\sigma_{t-1}(k)}{k^s}\left(\zeta(s)-\sum_{d>x/k}d^{-s}\right)\\&=\sum_{k\le x}\dfrac{\sigma_{t-1}(k)}{k^s}\left(\zeta(s)+\dfrac{(x/k)^{1-s}}{1-s}+O((x/k)^{-s})\right)\\&=\zeta(s)\sum_{k\le x}\dfrac{\sigma_{t-1}(k)}{k^s}+\dfrac{x^{1-s}}{1-s}\sum_{k\le x}\dfrac{\sigma_{t-1}(k)}{k}+O\left(x^{-s}\sum_{k\le x}\sigma_{t-1}(k)\right)\\&\sim\zeta(s)D_{t-1,s}(x)+\dfrac{x^{1-s}}{1-s}D_{t-1,1}(x)+O\left(\dfrac{D_{t-1,0}(x)}{x^s}\right)\\&=\begin{cases}\zeta^2(s)+\dfrac{x^{1-s}\log x}{1-s}+O(x^{1-s})&t=0\\\zeta(s)D_{t-1,s}(x)+\dfrac{x^{1-s}}{1-s}+O(x^{1-s}\log x)&t=1\\\zeta(s)D_{t-1,s}(x)+\dfrac{x^{t-s}}{1-s}+O(x^{t-s})&t>1\end{cases}\end{aligned}$

看起来大概是 $D_{t,s}(x)\sim\zeta^{t+2}(s)+\dfrac{\zeta^t(s)\log x}{1-s}$ 这种量级 .