2024.1.10 闲话

发现一些非常阴暗的快捷键：Alt + Print + O/B/U (NOI Linux) .

APJ：$\det((\sin(i+j))_{i,j})$ .

我要写啥来着 .

歌：きゅらりら★はぴちゅき！ - さたぱんP feat. 初音ミク .

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熟知 Fibonacci 数列：

$$F_n=\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\F_{n-1}+F_{n-2}&n\ge2\end{cases}$$

Fibonomial coefficient（你可以发现这里的第一个单词是由 Fibonacci 和 Binomial 合成而来的）：

$$\dbinom nm_F=\dfrac{\prod_{i=0}^{k-1}F_{n-i}}{\prod_{i=1}^kF_i}$$

则有：

$$\sum_{i=0}^k\dbinom ki_F(-1)^{\lceil\frac{i+1}2\rceil}F_{n-k}^{k-1}=0$$

（带符号的系数通常被称为 Signed Fibonomial）

对于序列是整数的证明，具体数学习题 6.86 证明了，对于任意“regularly divisible sequence” $C$（i.e. $C_{\gcd(n,m)}=\gcd(C_n,C_m)$），都有 $C$-组合数：

$$\dbinom nm_C=\dfrac{C_nC_{n-1}\cdots C_{n-k+1}}{C_kC_{k-1}\cdots C_1}$$

是整数 .

（此处有一个简洁的递推可以直接证明得到，不过不是重点就不提了，具体就是应用「附加性质」导出）

下面我们来尝试证明结论 . 直接考虑证明加强版结论，定义 Fibonacci 多项式：

$$F_n(x,s)=\begin{cases}0&n=0\\1&n=1\\x\cdot F_{n-1}(x,s)+s\cdot F_{n-2}(x,s)&n\ge2\end{cases}$$

那么断言：

$$\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^{\binom{i+1}2}s^{\binom i2}\dbinom{k+1}i_{F(x,s)}F_{n-i}^k(x,s)=0$$

证明：

根据 Binet 公式：

$$F_n(x,s)=\dfrac{\alpha^n-\beta^n}{\alpha-\beta}\text{ where }\alpha,\beta=\dfrac{x\pm\sqrt{x^2+4s}}2$$

那么可知 $F_n(x,s)^k$ 是 $\alpha^{(k-i)n}\beta^{in}$ 其中 $i=0\dots k$ 的线性组合 .

这里引入反方向的移位算子 $\mathsf U f(n)=f(n-1)$，则：

$$(1-\alpha^{k-i}\beta^i\mathsf U)(\alpha^{(k-i)n}\beta^{in})=0$$

展开：

$$F_n(x,s)^k\prod_{i=0}^n(1-\alpha^{k-i}\beta^i\mathsf U)=0$$

在这里使用 $q$-二项式定理来处理连乘积 . 由 $\dbinom nk_{\beta/\alpha}=\alpha^{k^2-nk}\dbinom nk_{F(x,s)}$（前面的是 $q$-组合数）可以导出：

$$\begin{aligned}\prod_{i=0}^k(1-\alpha^{k-i}\beta^i\mathsf U)&=\prod_{i=0}^k\left(1-\left(\dfrac{\beta}{\alpha}\right)^i(\alpha^k\mathsf U)\right)\\&=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i\left(\dfrac\beta\alpha\right)^{\binom i2}\alpha^{i^2-(k-1)i}\dbinom{k+1}i_{F(x,s)}\alpha^{ki}\mathsf U^i\\&=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^i(\alpha\beta)^{\binom i2}\dbinom{k+1}i_{F(x,s)}\mathsf U^i\\&=\sum_{i=0}^{k+1}(-1)^{i+2\choose 2}s^{i\choose 2}\dbinom{k+1}i_{F(x,s)}\mathsf U^i\end{aligned}$$

回代即可完成证明 . 真的很神奇啊 .

关于这样的扩展还有一些进一步的进展（Fibonacci 有限微积分.jpg），有兴趣者可自行阅读论文，反正我是摆了 .

资料是真的难查……开始是从具体数学看到的，引的最初的论文找不到地方下，TAOCP 虽然有题但是没有解答（

放个 Ref 吧：Johann Cigler, Recurrence relations for powers of q-Fibonacci polynomials .

论文好像是用 Microsoft Word 写的 .

这个式子也表达出一种 $\Theta(k^2\log n)$ 算 Fibonacci 幂和的方式，就是写成常系数齐次线性递推然后 Bostan-Mori .

正文的式子把论文改了一点，如果有问题请指出 .

怎么闲话的风格变成这样了啊，下次我绝对不看这些东西了！（flag