2024.1.8 闲话

歌：はぐ - MIMI feat. 初音ミク + 可不 .

发现那个单位根结论在 EI 的押韵里已经被证明过了 .

不考虑电路实际情况，电源电压恒定，串联电路中一个滑动变阻器和定值电阻串联，滑动滑动变阻器划片，记录滑动变阻器电流、电压变化量 \(\Delta I,\Delta U\)，则定值电阻的阻值 \(R=\dfrac{\Delta U}{\Delta I}\) .

好像因为黎曼 zeta 函数有洛朗级数：

\[\zeta(s)=\dfrac1{s-1}+\sum_{k\ge0}\dfrac{(-1)^k\gamma_k}{k!}(s-1)^k\text{ where }\gamma_n=\lim_{m\to\infty}\sum_{k=1}^m\dfrac{\ln^n(k)}k-\dfrac{\ln^{n+1}(m)}{n+1} \]

OGF 和 DGF 的转换就有一定可能性了 .

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根据某些检索有一个 \(\det\exp A=\exp\operatorname{tr}A\) 的证明 .

如果 \(A'\) 是 \(A\) 每位对应元素都求导，那么：

\[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\det A=\operatorname{tr}(A'A^*) \]

归纳，按最后一列展开可以得到 \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\det A\) 可以改成把每列求导后的行列式之和，可以转写为：

\[\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\det A=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^na_{ji}'(x)A_{ji} \]

其中 \(A_{ij}\)是代数余子式 .
进而利用伴随矩阵的定义可以得到原结论 \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\det A=\operatorname{tr}(A'A^*)\) .

那么考虑由此证明 \(\det\exp A=\exp\operatorname{tr}A\)，同样考察 \(\det\exp tA=\exp(t\operatorname{tr}A)=f(t)\) .

注意到对左边求导后化简可以得到 \(\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dt}f(t)=f(t)\mathrm{tr}(A)\) .

ODE 是可以直接解的，那么就可以得出 \(f(t)=\exp(t\operatorname{tr}A)\)，从而得到问题的证明 .