因子和函数的卷积

合集 - 原教旨主义鲜花(64)

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30.因子和函数的卷积2024-01-07

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Lambert 级数和 Fourier 级数的转换：

\sum_{n \geq 1} \frac{a (n) q^{n}}{1 - q^{n}} = \sum_{n \geq 0} (a * 1) (n) q^{n}

$\sum_{n\ge1}\dfrac{a(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n\ge0}(a*1)(n)q^n$

其中 $*$ 是 Dirichlet 卷积 . 容易证明，此处不详细展开 .

考察 $a(n)=n^k$ 的情况，那么 $a*1$ 就是 $\sigma_k$ 的格式了 . 这里 $\sigma_k$ 是因子和函数 .

定义 Eisenstein 级数：

E_{2 k} (τ) = 1 - \frac{4 k}{B_{2 k}} \sum_{n \geq 1} σ_{2 k - 1} (n) (e^{2 π i τ})^{n}

$E_{2k}(\tau)=1-\dfrac{4k}{B_{2k}}\sum_{n\ge1}\sigma_{2k-1}(n)(\mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau})^n$

其中 $B_n$ 是 Bernoulli 数 .

定义：

Φ_{r, s} (x) = \sum_{m \geq 1} \sum_{n \geq 1} m^{r} n^{s} x^{m n}

$\Phi_{r,s}(x)=\sum_{m\ge1}\sum_{n\ge1}m^rn^sx^{mn}$

进而定义：

P = - 21 S_{1} Q = 240 S_{3} R = - 540 S_{5}

$P=-21S_1\qquad Q=240S_3\qquad R=-540S_5$

其中 $\displaystyle S_r=\frac12\zeta(-r)+\sum_{t\ge1}\dfrac{t^rx^t}{1-x^t}$ . 其中 $\zeta(x)$ 是 Riemann $\zeta$ 函数 .

断言：若 $r+s$ 为奇数，则：

Φ_{r, s} (x) = {(x \frac{d}{d x})}^{r} Φ_{0, s - r} (x)

$\Phi_{r,s}(x)=\left(x\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^r\Phi_{0,s-r}(x)$

因为 $\Phi_{0,s-r}(x)$ 是关于 $Q,R$ 的多项式， $x\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dx},x\dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dx},x\dfrac{\mathrm dR}{\mathrm dx}$ 也是关于 $P,Q,R$ 的多项式，所以 $\Phi_{r,s}(x)$ 也是 $P,Q,R$ 的多项式 .

注：此处由下面三式导出：

x \frac{d P}{d x} = \frac{P^{2} - Q}{12} x \frac{d Q}{d x} = \frac{P Q - R}{3} x \frac{d R}{d x} = \frac{P R - Q^{2}}{2}

$x\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dx}=\dfrac{P^2-Q}{12}\qquad x\dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dx}=\dfrac{PQ-R}{3}\qquad x\dfrac{\mathrm dR}{\mathrm dx}=\dfrac{PR-Q^2}2$

关于具体的多项式表达：

进而我们可以推导因子和函数卷积的一些模式 . 例如，尝试计算 $\sigma_1$ 和自己的卷积？

注意到：

\sum_{n \geq 1} \frac{n^{2} q^{n}}{(1 - q^{n})^{2}} = q \frac{d}{d q} \sum_{n \geq 1} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}}

$\sum_{n\ge1}\dfrac{n^2q^n}{(1-q^n)^2}=q\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dq}\sum_{n\ge1}\dfrac{nq^n}{1-q^n}$

又 $x\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dx}=\dfrac{P^2-Q}{12}$ .

则可以导出有关 Lambert 级数的等式：

6 \sum_{n \geq 1} \frac{n^{2} q^{n}}{(1 - q^{n})^{2}} + 12 {(\sum_{n \geq 1} \frac{n q^{n}}{1 - q^{n}})}^{2} = \sum_{n \geq 1} \frac{(5 n^{3} + n) q^{n}}{1 - q^{n}}

$6\sum_{n\ge1}\dfrac{n^2q^n}{(1-q^n)^2}+12\left(\sum_{n\ge1}\dfrac{nq^n}{1-q^n}\right)^2=\sum_{n\ge1}\dfrac{(5n^3+n)q^n}{1-q^n}$

翻译回 Fourier 级数即可得到答案，过程不难，略去 . 一些类似的结果可见 [1] 中 TABLE IV .

对于其他情况需要引入 Ramanujan $\tau$ 函数，过于繁杂此处不表，具体可见 [1] .

This is easily proved by induction, using $(*)$ .

[1] Ramanujan, "On certain arithmetical functions" .

posted @ 2024-01-07 15:39 yspm 阅读(240) 评论(1) 编辑收藏举报

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