因子和函数的卷积

Lambert 级数和 Fourier 级数的转换：

\[\sum_{n\ge1}\dfrac{a(n)q^n}{1-q^n}=\sum_{n\ge0}(a*1)(n)q^n \]

其中 \(*\) 是 Dirichlet 卷积 . 容易证明，此处不详细展开 .

考察 \(a(n)=n^k\) 的情况，那么 \(a*1\) 就是 \(\sigma_k\) 的格式了 . 这里 \(\sigma_k\) 是因子和函数 .

定义 Eisenstein 级数：

\[E_{2k}(\tau)=1-\dfrac{4k}{B_{2k}}\sum_{n\ge1}\sigma_{2k-1}(n)(\mathrm e^{2\pi\mathrm i\tau})^n \]

其中 \(B_n\) 是 Bernoulli 数 .

定义：

\[\Phi_{r,s}(x)=\sum_{m\ge1}\sum_{n\ge1}m^rn^sx^{mn} \]

进而定义：

\[P=-21S_1\qquad Q=240S_3\qquad R=-540S_5 \]

其中 \(\displaystyle S_r=\frac12\zeta(-r)+\sum_{t\ge1}\dfrac{t^rx^t}{1-x^t}\) . 其中 \(\zeta(x)\) 是 Riemann \(\zeta\) 函数 .

断言：若 \(r+s\) 为奇数，则：

\[\Phi_{r,s}(x)=\left(x\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dx}\right)^r\Phi_{0,s-r}(x) \]

因为 \(\Phi_{0,s-r}(x)\) 是关于 \(Q,R\) 的多项式，\(x\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dx},x\dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dx},x\dfrac{\mathrm dR}{\mathrm dx}\) 也是关于 \(P,Q,R\) 的多项式，所以 \(\Phi_{r,s}(x)\) 也是 \(P,Q,R\) 的多项式 .

注：此处由下面三式导出：

\[x\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dx}=\dfrac{P^2-Q}{12}\qquad x\dfrac{\mathrm dQ}{\mathrm dx}=\dfrac{PQ-R}{3}\qquad x\dfrac{\mathrm dR}{\mathrm dx}=\dfrac{PR-Q^2}2 \]

关于具体的多项式表达：

进而我们可以推导因子和函数卷积的一些模式 . 例如，尝试计算 \(\sigma_1\) 和自己的卷积？

注意到：

\[\sum_{n\ge1}\dfrac{n^2q^n}{(1-q^n)^2}=q\dfrac{\mathrm d}{\mathrm dq}\sum_{n\ge1}\dfrac{nq^n}{1-q^n} \]

又 \(x\dfrac{\mathrm dP}{\mathrm dx}=\dfrac{P^2-Q}{12}\) .

则可以导出有关 Lambert 级数的等式：

\[6\sum_{n\ge1}\dfrac{n^2q^n}{(1-q^n)^2}+12\left(\sum_{n\ge1}\dfrac{nq^n}{1-q^n}\right)^2=\sum_{n\ge1}\dfrac{(5n^3+n)q^n}{1-q^n} \]

翻译回 Fourier 级数即可得到答案，过程不难，略去 . 一些类似的结果可见 [1] 中 TABLE IV .

对于其他情况需要引入 Ramanujan \(\tau\) 函数，过于繁杂此处不表，具体可见 [1] .

This is easily proved by induction, using \((*)\).

[1] Ramanujan, "On certain arithmetical functions" .