2024.1.5 闲话

歌：白猫海賊船 - Yunomi .

昨天把某个东西整完了，引一段 APJ 的话吧，懒得写了：

有谁想要题吗（

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\[\newcommand{\span}{\operatorname{span}} \]

由于某些原因我们需要表示模意义下的单位根，需要支持四则运算 . 由于大多数情况下单位根都是不能被模意义的复数表示的，所以需要扩域 . 一个问题是 \(n\) 次单位根的线性组合不一定被 \(n\) 个 \(n\) 次单位根唯一表示，断言：

定理

\(n\) 次单位根的线性组合恰由 \(\varphi(n)\) 个 \(n\) 次本原单位根唯一表示 .

也就是说对于 \(u\in\span(\omega_n^{0\dots n})\)，存在唯一整数序列 \(\{c_{\varphi(n)}\}\) 使得 \(\displaystyle u=\sum_{i=0}^{\varphi(n)}c_i\zeta^i\) . 其中 \(\zeta\) 是某个 \(n\) 次本原单位根 .

下面尝试证明之 .

其实也挺简单的 .

第一部分：\(n\) 次单位根的线性组合也是 \(n\) 次本原单位根的线性组合 .

首先 \(1\) 可以被本原单位根线性表出因为某个经典结论说所有 \(n\) 次本原单位根的和是 \(\mu(n)\) . 令 \(O\) 是本原单位根和 \(1\) 的并集，那么显然单位根的线性组合和 \(O\) 的线性组合是一致的 .

最后由所有 \(u\in O\) 都可以表示为 \(\zeta\) 的整数幂立得 \(u,v\in\span(O)\implies u\cdot v\in\span(O)\) .

根据本原单位根的定义知 \(\omega_n\in O\)，又所有单位根都是 \(\omega_n\) 的整数幂，从而所有单位根都在 \(\span(O)\) 里，进而 \(n\) 次单位根的线性组合都在 \(\span(O)\) 里 . 证明完毕 .

第二部分：\(n\) 次本原单位根是单位根线性空间的一组基 .

根据分圆多项式 \(\Phi_n(x)\) 的不可约性可直接得到证明 .

从而整个问题被证明 . 如果有问题请指出，如果有别的做法欢迎分享 .