2024.1.3 闲话

歌：いっぱいキャパシティ - 宮守文学 feat. 春日部つむぎ + 初音ミク .

今天数学老师讲进制转换，又不知道进制转换怎么做了 .

其实还是得记一下的吧……

Base Conversion

给一个 $a$ 进制的高精度数 $n$，转为 $b$ 进制输出 .

好做法：$\Theta(n^2)$ .

别的做法：首先按权展开：

$$\sum_{i=0}^na_i\cdot a^i=\sum_{i=0}^nb_i\cdot b^i$$

上界暂且都写 $n$ 了，看得懂就行 .

对左边高低位分治做，每次合并的时候相当于合并 $b$ 进制信息，可以卷积优化 .

然后就到 $\Theta(\mathsf M(n)\log n)$ 了，可以看 SPOJ 叫 BASECONV 的题或者 LOJ #183 .

upd. 听说进制转换最快只能 2log。。后面的内容应该是假了

有人说可以二项卷积，我没找到资料，先编一个，不一定对：

$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^nb_i\cdot b^i&=\sum_{i=0}^nb_i\cdot(a+b-a)^i\\&=\sum_{i=0}^nb_i\sum_{k=0}^i\dbinom ik(b-a)^{k-i}a^k\\&=\sum_{k=0}^na^k\sum_{i=k}^nb_i\dbinom ik(b-a)^{k-i}\end{aligned}$$

那么就是要解 $\displaystyle a_k=\sum_{i=k}^nb_i\dbinom ik(b-a)^{k-i}$，二项式反演后二项卷积即可 $\Theta(\mathsf M(n))$（真的吗？）

果然有一个切入点就好想了 . 这里可能需要选一个好的 NTT 模数压位 .

Last

珍贵的回忆藏在脑中就会褪色 .