2023.12.31 闲话

歌：は夢を持たなくなった君へ - ひこひぃ feat. 初音ミク .

忽然想到某些只有歌词的闲话是不是可以叫歌回了啊 .

值得注意的是，新发的博网址后面就没有 .html 了，有点厉害 .

Phigros 新出那个聖夜讃歌是和雪降一个地位的吗 . 不过已经打不上 S 了 .

话说建议打一下 Phigros 联动过来那个 TECHNOPOLIS 2085 的 EZ .

muse dash 又和东方联动了，懂不懂计划通的含金量啊（战术后仰

B 站年度报告

补了一下《草莓棉花糖》，感觉还是比较好的 .

最后一天了，给大家来点大家想看的东西……其实也没啥可写的，不过看到一些东西有一点想法就记一下，应该不算「大家想看的东西」.

某种拉格朗日反演的形式：

对于形式幂级数 $F,G$ 有 $F(z)=z\cdot G(F(z))$，则：

$$[z^n]F(z)=\dfrac1n[z^{n-1}]G(z)^n$$

证明：

改写为 $n\cdot[z^n]F(z)=[z^{n-1}]G(z)^n$ .

考察一棵 $n+1$ 个点的树 $\mathcal T$，每个非根节点 $u$ 的权值是 $[\frac{z^d}{d!}]G(z)$ 其中 $d=\deg u$ 是 $u$ 的度数，定义一棵树的权值是每个非根节点权值之积 . 那么 LHS 就是所有树的权值和 .

考察一种 Dyck 路，从 $(0,0)$ 出发，对于一棵树来说，先在最前面添加一步 $(1,1)$，然后递归依次添加所有儿子，最后如果是非叶子结点那么就添加一步 $(1,1-\deg u)$ . 那么定义一个 Dyck 路的权值是所有下降位置长的 $[\frac{z^{l+1}}{(l+1)!}]G(z)$ 之和其中 $l$ 是下降的长度 . 问题就变成了 $(1,1)\to(n-1,1)$ 的不低于 $y=0$ 的 Dyck 路 .

考察一条无限制的 $(0,0)\to(n-1,1)$ Dyck 路，找出最右边的最低点然后交换两侧的路径，这样就把一条任意的路转为了一条满足条件的路且权值不变 . 这里应该是正好算重 $n-1$ 次 .

然后似乎就行了？总感觉有很多问题需要精细考虑，不过放假了懒得考虑了，直接发出来让读者自己考虑得了（划掉

Reference:

• Fuss-Catalan 数、(m-1)-Dyck 路与 m 叉树 - Alpha1022 .
• 拉反的简单组合解释 - x义x .

本来昨天晚上都想好了今天啥学术内容也不写的，结果写到这里了。