2023.12.29 闲话

发现了一个很好的 . 感谢 APJ 完善算法细节 . 一些奇怪的知识以某种扭曲的形式结合在一起

被 Alpha1022 diss 了 /kk upd. 把这句话改成了一句被划掉的话 .

歌：you're Nxt - uma vs. モリモリあつし .

看到一些数论的古神结论，有点谔谔 .

调考竟然进步了，哈哈（？

图

应有图 .

---

通过学习可以断言：

$$\int\dfrac1{x^n+1}\mathrm dx=x\cdot{}_2F_1\left(1,\frac1n;1+\frac1n;-x^n\right)+C$$

超几何函数的导数是熟知的，考虑对右式求导验证：

$$\small\begin{aligned}\dfrac{\partial}{\partial x}\left(x\cdot{}_2F_1\left(1,\frac1n;1+\frac1n;-x^n\right)\right)&={}_2F_1\left(1,\frac1n;1+\frac1n;-x^n\right)+x\cdot\dfrac{\partial}{\partial x}\,{}_2F_1\left(1,\frac1n;1+\frac1n;-x^n\right)\\&={}_2F_1\left(1,\frac1n;1+\frac1n;-x^n\right)+\dfrac{x^n\cdot n}{n+1}{}_2F_1\left(2,1+\frac1n;2+\frac1n;-x^n\right)\\&=\dfrac1{x^n+1}\end{aligned}$$

注：最后一步按超几何级数的定义展开 .

附注：根据某些教导好像算 $\displaystyle\int\dfrac{\mathrm dx}{f(x)}$ 其中 $f$ 是多项式就只需要分式分解 $\dfrac1f$ .

Nahida .