2023.12.27 闲话

明天就要调考了，啦啦啦 .

听说今天是镜音双子生日 .

呃呃

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算是知道提取倍数位置的值可以单位根反演了 .

歌：Azure Fragments - ぱらどっと .

麻薯付丧神

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因为某些 APJ 和 xmascon19d 的原因想起来看看刘维尔函数 .

刘维尔函数 \(\lambda(x)=(-1)^{\Omega(x)}\) 其中 \(\Omega(x)\) 是 \(x\) 的素因子个数（重复计算多次）.

百度百科说了一些性质：

1. 积性 .
2. \(\mu(n)=\sum_{d^2\mid n}\mu(d)\lambda(n/d^2)\) .
3. \(\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\lambda(k)\lfloor x/k\rfloor=\lfloor\sqrt x\rfloor\) .
4. \(\sum_{d\mid n}\lambda(d)=[n\text{ is square}]\)（百度百科原文写的有问题）.
5. 其前缀和 \(L(x)\) 满足 \(L(x)=O(x)\) 当且仅当 Mertens 函数 \(M(x)=O(x)\) .

那么来尝试证明一下 .

性质 1 显然不表（其实还是完全积性的）.

注意到其 DGF：

\[\Lambda(z)=\prod_p\sum_{i\ge0}\dfrac{(-1)^i}{p^{iz}}=\prod_p\dfrac1{1+p^{-z}}=\dfrac{\zeta(2z)}{\zeta(z)} \]

恰为 \(\mu^2\) 的 DGF 的倒数，从而可以得知 \(\lambda*\mu^2=\varepsilon\) .

两边同时卷 \(\mu\) 可得：\(\lambda*(\mu^2*\mu)=\mu\) .

根据经典结论可以知道 \(\mu^2*\mu\) 就是 \(\mu(\sqrt n)(\sqrt n\in\Z)\)（基础证明，如果应用 DGF 可以立即得到）. 后面这个函数就记作 \(\mu(\sqrt n)\) 了 . 类似记 \(1(\sqrt n)=1\) 当且仅当 \(n\) 是完全平方数 .

那么就变成 \(\lambda*\mu(\sqrt n)=\mu\)，展开即得性质 2 .

注意到 \(\lambda*\mu(\sqrt n)=\mu\) 可以改成 \(\lambda*1=1(\sqrt n)\)，两边前缀和即得性质 3 .

最后，考察 DGF \(\dfrac{\zeta(2z)}{\zeta(z)}\cdot\zeta(z)=\zeta(2z)\)，分别翻译即得性质 4 .

对于最后一个解析的性质，问题即为证明 square-free number 的影响可以忽略不计 . 根据某个原神题我们已经知道 \(\le n\) 的 square-free number 的数量是 \(\Theta(n)\) 的，那么性质 5 就被证明了 .

如果有问题请在评论区指出 .