2023.12.27 闲话

明天就要调考了，啦啦啦 .

听说今天是镜音双子生日 .

呃呃

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算是知道提取倍数位置的值可以单位根反演了 .

歌：Azure Fragments - ぱらどっと .

麻薯付丧神

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因为某些 APJ 和 xmascon19d 的原因想起来看看刘维尔函数 .

刘维尔函数 $\lambda(x)=(-1)^{\Omega(x)}$ 其中 $\Omega(x)$ 是 $x$ 的素因子个数（重复计算多次）.

百度百科说了一些性质：

1. 积性 .
2. $\mu(n)=\sum_{d^2\mid n}\mu(d)\lambda(n/d^2)$ .
3. $\sum_{k=1}^{\lfloor x\rfloor}\lambda(k)\lfloor x/k\rfloor=\lfloor\sqrt x\rfloor$ .
4. $\sum_{d\mid n}\lambda(d)=[n\text{ is square}]$（百度百科原文写的有问题）.
5. 其前缀和 $L(x)$ 满足 $L(x)=O(x)$ 当且仅当 Mertens 函数 $M(x)=O(x)$ .

那么来尝试证明一下 .

性质 1 显然不表（其实还是完全积性的）.

注意到其 DGF：

$$\Lambda(z)=\prod_p\sum_{i\ge0}\dfrac{(-1)^i}{p^{iz}}=\prod_p\dfrac1{1+p^{-z}}=\dfrac{\zeta(2z)}{\zeta(z)}$$

恰为 $\mu^2$ 的 DGF 的倒数，从而可以得知 $\lambda*\mu^2=\varepsilon$ .

两边同时卷 $\mu$ 可得：$\lambda*(\mu^2*\mu)=\mu$ .

根据经典结论可以知道 $\mu^2*\mu$ 就是 $\mu(\sqrt n)(\sqrt n\in\Z)$（基础证明，如果应用 DGF 可以立即得到）. 后面这个函数就记作 $\mu(\sqrt n)$ 了 . 类似记 $1(\sqrt n)=1$ 当且仅当 $n$ 是完全平方数 .

那么就变成 $\lambda*\mu(\sqrt n)=\mu$，展开即得性质 2 .

注意到 $\lambda*\mu(\sqrt n)=\mu$ 可以改成 $\lambda*1=1(\sqrt n)$，两边前缀和即得性质 3 .

最后，考察 DGF $\dfrac{\zeta(2z)}{\zeta(z)}\cdot\zeta(z)=\zeta(2z)$，分别翻译即得性质 4 .

对于最后一个解析的性质，问题即为证明 square-free number 的影响可以忽略不计 . 根据某个原神题我们已经知道 $\le n$ 的 square-free number 的数量是 $\Theta(n)$ 的，那么性质 5 就被证明了 .

如果有问题请在评论区指出 .