2023.12.26 闲话

才发现 Dirichlet 双曲线法的优越性，建议以后都别学整除分块了，直接 Dirichlet 双曲线法吧！

歌：あいすくりん - nogi feat. 可不 .

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问题：求 \(\le n\) 的 Powerful Number 个数 .

令 Powerful Number 指示函数 \(p(n)=1\) 当且仅当 \(n\) 是 Powerful Number . 根据 \(p\) 的积性可以导出其 DGF：

\[P(z)=\prod_p\sum_{i\ge2}\dfrac1{p^{iz}}=\prod_p\dfrac{p+1-p^z}{p(p^z-1)}=\dfrac{\zeta(2z)\zeta(3z)}{\zeta(6z)} \]

先处理 \(\dfrac1{\zeta(z)}\) 在 \(<n^{1/6}\) 处的取值，注意到 \(\zeta(2z),\zeta(3z)\) 的单点前缀和都是容易 \(\Theta(n^{1/5})\) 处理的，那么暴力卷积即可 \(\Theta(n^{1/5})\) .

这个 DGF 也可以说明一些事情：

\[\sum_{d\mid n}[d\text{ is PN}]\mu^2(n/d)=\sum_{d\mid n}\dfrac{\mu^2(d)}{d^3} \]

然而看起来并没有什么用 .

尝试扩展到任意只有 Powerful Number 处有值的函数，不过没有成功 .

那时神告诫他“你只可到这里，不可逾越！”然而神的劝说并未让其迷途知返……