2023.12.30 闲话

歌： - x0o0x_ .

终于有一个长一点的假，想补点番了 .

希望某个时刻能把那个题的代码写了 .

因为太了所以就不发洛谷了 .

马上就看不到 2023 年的新闲话了啊 .

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无知时诋毁 joke3579，懂事时理解 joke3579，成熟时追随 joke3579，幻想中成为 joke3579。

对于某个好函数 \(G\)，求多项式 \(F\) 满足 \(G(F(z))\equiv0\pmod{z^{2n}}\) .

断言：若 \(F_0(z)=F(z)\bmod z^n\)，则：

\[F(z)\equiv F_0(z)-\dfrac{G(F_0(z))}{G'(F_0(z))}\pmod{z^{2n}} \]

证明：将 \(G(F(z))\) 在 \(F_0(z)\) 处 Taylor 展开：

\[G(F(z))=\sum_{i\ge 0}G^{(i)}(F_0(z))\dfrac{(F(z)-F_0(z))^i}{i!} \]

因为 \(F(z)-F_0(z)\) 的最低次项 \(\ge n\) ，所以 \(i>1\) 的项都没有用，所以可以得到：

\[G(F(z))\equiv G(F_0(z))+G'(F_0(z))(F(z)-F_0(z))\pmod{z^{2n}} \]

整理即得 .