2023.12.21 闲话

网易云年度报告

内含巨大图多滑动，如果想要打开请再进一层 .

⚡

空 .

怎么又是 Border Theory、Palindrome Series 又是 SAM 上 DAG 链剖分、Lyndon Word 的 . 膜拜 Cage 大神 .

东方频道精选 .

出雪未来曲了：ハッピーチートデー - れるりり feat. 初音未来 .

歌：Darling♡BAN!（森罗万象的）.

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世上还是好人多啊 .

Periodicity Lemma

若 \(p,q\) 都为字符串 \(S\) 的周期，且 \(p+q-\gcd(p,q)\le|S|\)，则 \(\gcd(p,q)\) 也是 \(S\) 的周期 .

太感动了，我终于知道 PL 咋证了 .

后文 \(n=|S|\) 是字符串长度 .

用普通生成函数刻画周期，设字符串的 OGF 是 \(S(z)\)，且：

\[S_p(z)=\dfrac{P(z)}{1-z^p}\equiv S(z)\pmod{z^n}\qquad\qquad S_q(z)=\dfrac{Q(z)}{1-z^q}\equiv S(z)\pmod{z^n} \]

考察：

\[\begin{aligned}S_p(z)-S_q(z)&=\dfrac{1-z^{\gcd(p,q)}}{(1-z^p)(1-z^q)}\left(\dfrac{P(z)(1-z^q)}{1-z^{\gcd(p,q)}}-\dfrac{Q(z)(1-z^p)}{1-z^{\gcd(p,q)}}\right)\\&\xlongequal{\!\!\!\rm def\!\!\!}\dfrac{1-z^{\gcd(p,q)}}{(1-z^p)(1-z^q)}\cdot F(z)\end{aligned} \]

注意到因为 \(\deg P(z)<p\)，\(\deg Q(z)<q\)，从而 \(\deg F(z)<p+q-\gcd(p,q)\) .

在模 \(z^n\) 意义下考察之，因为 \(S_p(z)-S_q(z)\equiv0\pmod{z^n}\)，从而 \(S_p(z)-S_q(z)\equiv0\pmod{z^{p+q-\gcd(p,q)}}\)，进而 \(F(z)\equiv0\pmod{z^{p+q-\gcd(p,q)}}\) .

综合 \(\deg F(z)<p+q-\gcd(p,q)\) 可得 \(F(z)=0\) . 那么可以得到 \(S_p(z)=S_q(z)\) .

有相等了就不用管 \(n\) 的限制了，后面可以直接用 WPL 完成证明 .

这里也不一定要用 Bézout 定理，也可以 \(p,q\implies p-q\) .

咋排版这么古神低语，呃 .

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Reference：

• [1] Ref 1 .
• [2] Ref 2 .
• [3] Some Text .
• [4] Private conversion with a person .