2023.12.19 闲话

happyguy：取法于上，仅得为中；取法于中，故为其下。（？？？

《辉夜姬的 14 道难题》（误

ぬ（后略）老师发了新曲：モミアゲヲシャカアゲヲ .

看到一个东方手书，有空可以看一看 Link，感觉我很难在 B 站看到这样的视频啊 .

才发现那个 Phigros 和中二的联动曲已经占据 IN 难度 Rank 1，害怕 .

我尽力了

歌：リアライゼーション - モリモリあつし .

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\[\newcommand{\tr}{\operatorname{tr}} \]

以前就总觉得 \(\exp\tr A=\det\exp A\) 只有一些抽象证明（对角化，det 求导，多元拉反）非常不符合这个结论的优越性，今天从 x义x 那里看到一个非常震撼的东西，做法听说来自 EI，在这里摘抄一份 .

问题：证明对于任意矩阵 \(A\) 有 \(\exp\tr A=\det\exp A\) .

考虑证明 \(\exp\tr Az=\det\exp Az\) .

注意到：

\[(\exp Az)_{u,v}=\sum_l\dfrac{z^l}{l!}\sum_{\{w_l\}}A_{u,w_1}A_{w_1,w_2}\cdots A_{w_l,v} \]

即枚举所有 \(u\to v\) 的路径 .

展开行列式：

\[\det\exp(Az)=\sum_{\pi}(-1)^{\tau(\pi)}\prod_i(\exp Az)_{i,\pi_i} \]

考虑对于一个固定的 \(\pi\)，问题实际上就是枚举了如下操作序列：

初始有 \(n\) 个石子 \(1\dots n\)，每次随便移动一个石子 \(u\to v\) 并获得对应权值 \(A_{u,v}\)。

要求最终第 \(i\) 个石子落在第 \(\pi_i\) 位 .

类似 LGV 引理，构造映射 \(\phi\) 表示首次石子重合时交换两个石子得到的操作序列 . 注意到这里 \(\phi\) 是对合且一次会把 \(\pi\) 的逆序对奇偶性翻转，所以有重合的操作序列权值全部抵消 .

剩下的只有石子不重合的操作序列，这显然是 \(\exp\tr Az\) 所描述的 .

证明完毕 .

基金会超常组合数学部怎么全是外星东西，膜拜双射大师 x义x .

秦心