2023.12.13 闲话

又一次看了 Kaguya 的闲话，可能我以后的 OI 生涯也会和 joke3579 的多项式生成函数博和 Kaguya 的数据结构博紧密联系起来，这些东西真的非常有用 . 这下成刷阅读量的了 .

不过 HE 省队名额还是很震撼的 .

歌：夜行迷子 - 立入禁止 feat. 歌愛ユキ + 诗岸 .

---

看到一些东西，感知一下 .

后文 \(p\) 是素数 .

类似于前 \(n\) 个素数之积的问题，考虑 Chebyshev 函数：

\[\theta(x)=\sum_{p\le x}\ln p \]

断言：\(\theta(x)=\Theta(x)\) .

当然直接积就完了：

\[\begin{aligned}\theta(n)\sim\int_1^n\ln x\mathrm d\pi(x)=\ln(n)\pi(n)-\int_1^n\dfrac{\pi(x)}x\mathrm dx\sim n\end{aligned} \]

不过我们有一个纯初等证明：

第一部分：\(\theta(x)=\Omega(x)\) .

\[\theta(x)\ge\pi(x)\cdot\ln x\sim x \]

第二部分：\(\theta(x)=O(x)\) .

定义 \(\chi(x)=\sum_{i\ge 0}\theta(x^{1/i})\) .

勒让德公式导出：

\[\ln(x!)=\sum_{p\le x}\ln p\sum_{i\ge 0}\left\lfloor\dfrac x{p^i}\right\rfloor \]

使用类似 Abel 变换的手法，把 \(\lfloor x\rfloor\) 看成 \(\sum_{u\le x}1\)，对 \((i,u)\) 计数可以得到：

\[\ln(x!)-2\ln\left(\left\lfloor\frac x2\right\rfloor!\right)=\sum_{i\ge 0}(-1)^i\chi\left(\dfrac xi\right) \]

从而：

\[\chi(x)-\chi\left(\dfrac x2\right)<\ln(x!)-2\ln\left(\left\lfloor\frac x2\right\rfloor!\right) \]

仔细地使用 Stirling 公式可以得到 \(\chi(x)-\chi\left(\dfrac x2\right)<x\) .
每次令 \(x\gets\frac x2\) 可以得到一系列不等式：

\[\chi\left(\dfrac x{2^{k-1}}\right)-\chi\left(\dfrac x{2^k}\right)<\dfrac x{2^k} \]

取第一个 \(k\) 使得 \(\dfrac x{2^k}<2\)，将前面的项全部求和：

\[\chi(x)<x\sum_{i=0}^k\dfrac1{2^i}<2x \]

从而 \(\theta(x)<2x\) .

证明完毕 .

（虽然用到 Stirling 公式，不过我认为 Stirling 公式是初等的，可以搜到初等证明）

⑨x2

明日之盛，昨日之俗 .