2023.12.13 闲话

又一次看了 Kaguya 的闲话，可能我以后的 OI 生涯也会和 joke3579 的多项式生成函数博和 Kaguya 的数据结构博紧密联系起来，这些东西真的非常有用 . 这下成刷阅读量的了 .

不过 HE 省队名额还是很震撼的 .

歌：夜行迷子 - 立入禁止 feat. 歌愛ユキ + 诗岸 .

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看到一些东西，感知一下 .

后文 $p$ 是素数 .

类似于前 $n$ 个素数之积的问题，考虑 Chebyshev 函数：

$$\theta(x)=\sum_{p\le x}\ln p$$

断言：$\theta(x)=\Theta(x)$ .

当然直接积就完了：

$$\begin{aligned}\theta(n)\sim\int_1^n\ln x\mathrm d\pi(x)=\ln(n)\pi(n)-\int_1^n\dfrac{\pi(x)}x\mathrm dx\sim n\end{aligned}$$

不过我们有一个纯初等证明：

第一部分：$\theta(x)=\Omega(x)$ .

$$\theta(x)\ge\pi(x)\cdot\ln x\sim x$$

第二部分：$\theta(x)=O(x)$ .

定义 $\chi(x)=\sum_{i\ge 0}\theta(x^{1/i})$ .

勒让德公式导出：

$$\ln(x!)=\sum_{p\le x}\ln p\sum_{i\ge 0}\left\lfloor\dfrac x{p^i}\right\rfloor$$

使用类似 Abel 变换的手法，把 $\lfloor x\rfloor$ 看成 $\sum_{u\le x}1$，对 $(i,u)$ 计数可以得到：

$$\ln(x!)-2\ln\left(\left\lfloor\frac x2\right\rfloor!\right)=\sum_{i\ge 0}(-1)^i\chi\left(\dfrac xi\right)$$

从而：

$$\chi(x)-\chi\left(\dfrac x2\right)<\ln(x!)-2\ln\left(\left\lfloor\frac x2\right\rfloor!\right)$$

仔细地使用 Stirling 公式可以得到 $\chi(x)-\chi\left(\dfrac x2\right)<x$ .
每次令 $x\gets\frac x2$ 可以得到一系列不等式：

$$\chi\left(\dfrac x{2^{k-1}}\right)-\chi\left(\dfrac x{2^k}\right)<\dfrac x{2^k}$$

取第一个 $k$ 使得 $\dfrac x{2^k}<2$，将前面的项全部求和：

$$\chi(x)<x\sum_{i=0}^k\dfrac1{2^i}<2x$$

从而 $\theta(x)<2x$ .

证明完毕 .

（虽然用到 Stirling 公式，不过我认为 Stirling 公式是初等的，可以搜到初等证明）

⑨x2

明日之盛，昨日之俗 .