2023.12.10 闲话

讲了网络流，有点谔谔 .

在这里遇到了 AWOI 团主，见到了 DengDuck . 所以有人来面基嘛？

歌：白日妄想家 - magens feat. 初音ミク + ナースロボ＿タイプＴ .

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事实证明，只要是幂的形式，求导的系数就是第二类 Stirling 数（暴论），具体看下二例 .

Binomial Sum

\[F_{n,k}(z)=\sum_{i=0}^n\dbinom ni\cdot i^k\cdot z^i \]

注意到答案肯定是 \(\displaystyle F^{(n)}(z)=\sum_{i=1}^ka_{k,i}\cdot n^{\underline{i}}(1+z)^{n-i}z^{i-1}\) 的形式，展开：

\[F^{(n+1)}(z)=\sum_{i=1}^ka_{k,i}\times \left(n^{\underline{i+1}}\times (1+z)^{n-(i+1)}z^i+i\times n^{\underline{i}}\times (1+z)^{n-i}z^{i-1}\right) \]

对比系数，得 \(a_{k+1,i}=a_{k,i-1}+i\cdot a_{k,i}\)，代入初值得第二类 Stirling 数 .

Bell 数

\[B(z)=\exp(\mathrm e^z-1) \]

注意到答案肯定是 \(\displaystyle B^{(n)}(z)=\sum_ka_{n,k}\mathrm e^{kz}\) 的形式，展开：

\[B(z)\sum_ka_{n+1,k}\mathrm e^{kz}=\sum_ka_{n,k}(k\cdot B(z)\mathrm e^{kz}+B(z)\mathrm e^{(k+1)z}) \]

对比系数，得 \(a_{n,k}=k\cdot a_{n,k}+a_{n,k-1}\)，代入初值得第二类 Stirling 数 .

恋恋