2023.12.9 闲话

润 BJ 了，呃呃 .

学校开始讲概率了 .

歌：Darling darling - ENPITU feat. 初音ミク .

问题：求无向无权图最小割 .

Karger 算法：每次随机选一条边 shrink 掉直到只剩下两个点，中间的点作为最小割 .

令真实的最小割大小为 \(k\)，\(A_i\) 是事件「在算法的第 \(i\) 步后存在一种最优方案」. 那么因为每个点的度数至少是 \(k\) 所以图中至少有 \(\frac{nk}2\) 条边，此时 \(\mathbb P[A_1]\ge1-\frac k{\frac{nk}2}=1-\frac2n\)，进一步可以导出：

\[\mathbb P\left[A_i\mathop{\Bigg\vert}\bigcap_{j=1}^{i-1}A_j\right]\ge1-\dfrac2{n-i+1} \]

根据条件概率的乘法公式：

\[\mathbb P\left[\bigcap_{i=1}^{n-2}A_i\right]\ge\prod_{i=1}^{n-2}\left(1-\dfrac2{n-i+1}\right)=\dfrac2{n(n-1)}=\Omega(n^{-2}) \]

从而执行 \(\Omega(n^2)\) 次该算法答案错误的概率就不超过 \((1-\frac2{n(n-1)})^{n^2}<\frac1{\mathrm e}\) .

有人对求正确率精确值有想法吗？欢迎交流 .