2023.12.7 闲话

膜 joke3579 .

Gemini（？

问了半天同学洛伦兹力方向判定和楞次定律的东西，还不是很明白，麻 .

crimson000 那个等差数列题好像暴力解也行：

Solution

对于等差数列 $\{a\}$ 和前缀和 $\{S\}$，满足 $S_p=q$ 且 $S_q=p$，求 $S_{p+q}$ .

首先特判 $p=q$（平凡），接下来不妨令 $p>q$，考察：

$$\begin{aligned}S_p-S_q&=\dfrac{(p-q)(a_p+a_{q+1})}2\\&=a_0(p-q)+\dfrac{k(p-q)(p+q+1)}{2}\end{aligned}$$

又 $S_p-S_q=q-p$，从而：

$$a_0+\dfrac{k(p+q+1)}2=-1$$

以后上面这个式子就叫 $\rm(F)$ 了（取自 Furry，不知道为什么这里用 \tag 渲染会比较奇怪）.

应用 $\rm (F)$ 可以得到 $a_{p+q}=-a_0-k-2$，从而：

$$\begin{aligned}S_{p+q}&=\dfrac{(a_0+a_{p+q})(p+q+1)}2-a_0\\&=\dfrac{(-k-2)(p+q+1)}2-a_0\\&=-\left(a_0+\dfrac{k(p+q+1)}2+(p+q+1)\right)\\&=-(p+q)&(\rm F)\end{aligned}$$

证明完毕 .

哦上面公差是 $k$（写完才发现应该是 $d$）.

歌：春間アラモード - nogi feat. 初音ミク .

奋战冬三月！！！

可对角化的时候 $\det(\exp A)=\exp(\operatorname{tr}A)$ 好像确实是显然的，别的情况我也不会 .

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感谢 APJifengc 对 FWT 的指导 .

对于卷积下标系统 $(I,\circ)$ 上的序列 $f,g$，考察可逆线性变换 $\mathcal F$ 满足：

$$\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)=\mathcal F(f*g)$$

其中 $\cdot$ 是点积 .

那么如果能快速进行 $\mathcal F$ 和 $\mathcal F^{-1}$ 就能快速进行卷积了 .

设 $\mathcal F$ 对应的转移矩阵是 $\mathbf F$，则对于行向量 $\bm f,\bm g$，仔细地展开 $(\bm f\,\mathbf F)\cdot(\bm g\,\mathbf F)=(\bm f*\bm g)\mathbf F$ 可得：

$$\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i}\bm f_i\bm g_j\mathbf F_{k,i}\mathbf F_{k,j}=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}\bm f_i\bm g_j\mathbf F_{k,i\circ j}\end{aligned}$$

对比得到 $\bf F$ 需要满足 $\mathbf F_{k,i}\mathbf F_{k,j}=\mathbf F_{k,i\circ j}$ .

那么相当于有若干个 $x_ix_j=x_{i\circ j}$ 的方程，手解出来就构造出一种 $\mathcal F$ 状物了 .

如果 $\mathcal F$ 有比较优秀的性质那么就可以倍增处理做到线性对数 .

更多内容见 LCA 集训队论文（因为我不会了所以丢论文跑路.jpg）.

Reference：

• Elegia, Athekatelan《信息学竞赛中的生成函数计算理论框架》.
• LCA《浅谈 DFT 在信息学竞赛中的应用》.
• 【学习笔记】FWT - APJifengc .

姆 Q

不过那个黎明前的巧克力也太难了 .