2023.12.7 闲话

膜 joke3579 .

Gemini（？

问了半天同学洛伦兹力方向判定和楞次定律的东西，还不是很明白，麻 .

crimson000 那个等差数列题好像暴力解也行：

Solution

对于等差数列 \(\{a\}\) 和前缀和 \(\{S\}\)，满足 \(S_p=q\) 且 \(S_q=p\)，求 \(S_{p+q}\) .

首先特判 \(p=q\)（平凡），接下来不妨令 \(p>q\)，考察：

\[\begin{aligned}S_p-S_q&=\dfrac{(p-q)(a_p+a_{q+1})}2\\&=a_0(p-q)+\dfrac{k(p-q)(p+q+1)}{2}\end{aligned} \]

又 \(S_p-S_q=q-p\)，从而：

\[a_0+\dfrac{k(p+q+1)}2=-1 \]

以后上面这个式子就叫 \(\rm(F)\) 了（取自 Furry，不知道为什么这里用 \tag 渲染会比较奇怪）.

应用 \(\rm (F)\) 可以得到 \(a_{p+q}=-a_0-k-2\)，从而：

\[\begin{aligned}S_{p+q}&=\dfrac{(a_0+a_{p+q})(p+q+1)}2-a_0\\&=\dfrac{(-k-2)(p+q+1)}2-a_0\\&=-\left(a_0+\dfrac{k(p+q+1)}2+(p+q+1)\right)\\&=-(p+q)&(\rm F)\end{aligned} \]

证明完毕 .

哦上面公差是 \(k\)（写完才发现应该是 \(d\)）.

歌：春間アラモード - nogi feat. 初音ミク .

奋战冬三月！！！

可对角化的时候 \(\det(\exp A)=\exp(\operatorname{tr}A)\) 好像确实是显然的，别的情况我也不会 .

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感谢 APJifengc 对 FWT 的指导 .

对于卷积下标系统 \((I,\circ)\) 上的序列 \(f,g\)，考察可逆线性变换 \(\mathcal F\) 满足：

\[\mathcal F(f)\cdot\mathcal F(g)=\mathcal F(f*g) \]

其中 \(\cdot\) 是点积 .

那么如果能快速进行 \(\mathcal F\) 和 \(\mathcal F^{-1}\) 就能快速进行卷积了 .

设 \(\mathcal F\) 对应的转移矩阵是 \(\mathbf F\)，则对于行向量 \(\bm f,\bm g\)，仔细地展开 \((\bm f\,\mathbf F)\cdot(\bm g\,\mathbf F)=(\bm f*\bm g)\mathbf F\) 可得：

\[\begin{aligned}\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-i}\bm f_i\bm g_j\mathbf F_{k,i}\mathbf F_{k,j}=\sum_{i=0}^{n-1}\sum_{j=0}^{n-1}\bm f_i\bm g_j\mathbf F_{k,i\circ j}\end{aligned} \]

对比得到 \(\bf F\) 需要满足 \(\mathbf F_{k,i}\mathbf F_{k,j}=\mathbf F_{k,i\circ j}\) .

那么相当于有若干个 \(x_ix_j=x_{i\circ j}\) 的方程，手解出来就构造出一种 \(\mathcal F\) 状物了 .

如果 \(\mathcal F\) 有比较优秀的性质那么就可以倍增处理做到线性对数 .

更多内容见 LCA 集训队论文（因为我不会了所以丢论文跑路.jpg）.

Reference：

• Elegia, Athekatelan《信息学竞赛中的生成函数计算理论框架》.
• LCA《浅谈 DFT 在信息学竞赛中的应用》.
• 【学习笔记】FWT - APJifengc .

姆 Q

不过那个黎明前的巧克力也太难了 .