2023.12.6 闲话

今天是 zero4338 生日 .

SoyTony 和 yswn 指出了这个东西：

\[F(n,a,b)=\sum_{i=0}^ni^a(n-i)^b \]

（成绩比较）

然而标算是 \(\Theta(ab)\) 的，现在看来似乎可以 \(\Theta(\mathsf M(a+b)\log n)\) 做，\(\mathsf M(n)\) 是长为 \(n\) 的卷积复杂度 .

（就直接展开为牛顿级数，但是幂的结果看起来是 Worpitzky 恒等式一类的，应该不能以简单的方式再优化了吧）

歌：PURE - ぱらどっと / 粒良ぱらこ .

（原曲：少女さとり ～ 3rd eye）

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问题：给定序列 \(\{a_n\}\)，快速统计以每个 \(a_i\) 为次大值的区间信息 .

Solution 1

从小到大扫依次更新，每次更新完了就删掉对应元素，那么最后只需要在每个元素的左右走一下即可找到对应位置 .

双向链表维护即为线性 .

Solution 2

相当于要求每个位置往左（右）走的第二个比它大的位置，两边做法相同不妨设要求左边 .

先求每个元素 \(a_i\)，左边比它大的第一个位置 \(p_i\)，按 \((p_i,a_i)\) 双关键字排序 . 扫一遍每次把 \(p_{i-1}\cdots p_i-1\) 的元素加入单调栈然后弹掉小于 \(a_i\) 的所有栈顶即可统计 .