2023.12.5 闲话

恭迎 crimson000 大帝回归 cnblogs（？），不过那个数列题感觉有点转置原理啊！

语文学案的活页上竟然还有《橘子不是唯一的水果》上的句子，谔谔 .

歌：フォーリーバンジー - 晴いちばん feat. 重音テト .

晴いちばん老师的 WonderRuins 可能是比较著名的一首 .

Trump

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众所周知：

$$\begin{aligned}&(x+y)^{\underline n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^{\underline i}y^{\underline{n-i}}\\&(x+y)^{\overline n}=\sum_{i=0}^n\binom{n}{i}x^{\overline i}y^{\overline{n-i}}\end{aligned}$$

不过网上好像都是一些奇怪的证明，放一个比较阳间的吧 .

第一个式子

组合数的 OGF $\displaystyle C_n(z)=\sum_{i\ge 0}\dbinom niz^i=(1+z)^n$ .

仔细观察一下可以发现它其实也是下降幂的 EGF $\displaystyle P_n(z)=\sum_{i\ge 0}n^{\underline i}\dfrac{z^i}{i!}=C_n(z)=(1+z)^n$ .

然后根据 $(1+z)^n(1+z)^m=(1+z)^{n+m}$ 就可以导出了 .

第二个式子

都是一样的 .

组合数的另一个 OGF $\displaystyle\dot C_n(z)=\sum_{i\ge 0}\dbinom{n+i-1}iz^i=\dfrac1{(1-z)^n}$ .

它就是上升幂的 EGF：$\displaystyle\dot P_n(z)=\sum_{i\ge 0}n^{\overline i}\dfrac{z^i}{i!}=\dot C_n(z)=\dfrac1{(1-z)^n}$ .

此后就是平凡的了 .

应该比那个全部拆开然后范德蒙德卷积的做法自然一些，不过说不定本质上是相同的 .

要想对普通幂用这样的方法进行的话难度明显是较高的，不过看起来也不是非常难，大家可以试试 .