2023.12.4 闲话

今天终于可以在洛谷推流了 .

歌：知っとるわ！- アオワイファイ feat. 初音ミク .

唉我这个推歌存储量能用一个月 .

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多重集交错排列问题：给一个多重集，问相邻元素不相同的排列有多少个 .

让我们跳过容斥，快进到 DP .

$$dp_{i,j}=\sum_{k=1}^{j}dp_{i-1,j-k}\cdot \dfrac1{k!}\dbinom{n_i-1}{n_i-k}$$

其中 $n_i$ 是每个元素的出现次数 .

如果让后面的部分的 OGF 是 $\displaystyle F_i(z)=\sum_{k\ge 0}\dfrac{z^k}{k!}\binom{n_i-1}{n_i-k}$，则答案即为：

$$\sum_{i=0}^{n-b}(-1)^{i}\times (n-i)! \times \left([z^i]\prod_{i=1}^bF_i(z)\right)$$

核心问题是求 $\prod F_i(z)$，分治乘即可 $\Theta(\mathsf M(n)\log n)$ .

然而注意到 $F_i(z)={}_1F_1(-n_i;1;-z)$ 所以答案肯定是 D-finite 的，具体内容有待详细考察，我不是很了解合流超几何级数 . 这是否意味着可以线性求解？