2023.12.3 闲话

整了个在线 ADOFAI 体验了一下，到了 3-X The Wind-Up (1.2x) 就没继续了（因为存档有一些问题），大概了 .

调考考成接福纳瑞了。。

joke3579 说了一个带平方的迭代列，我疑问了 .

歌：すとれいきゃっと - タケノコ少年 feat. 初音ミク .

转眼间就到十二月了啊 .

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被 joke 教育了 . 后面全程抄 joke 的符号化方法 .

对于 $\Omega\supseteq\{0\}$，定义 $\Omega$ 树的组合类 $\mathcal T^{\Omega}$ 是所有结点的儿子个数 $\omega\in\Omega$ 的树组成的组合类 .

定义特征函数 $\displaystyle\phi(t)=\sum_{\omega\in\Omega}t^{\omega}$，则断言 $\mathcal T^{\Omega}$ 的 OGF $T^{\Omega}(z)$ 满足：

$$T^{\Omega}(z) = z\times \phi\left(T^{\Omega}(z)\right)$$

因为注意到每层的转移实际上是一个 $\mathrm{SEQ}_{\in\Omega}$，那么简单讨论就知道相当于复合 $\phi$ .

要想提取可以拉反 . 就是 2023.11.15 闲话那样的（此处应该比那里要简单的多）.

Remark.

特殊情况：

• $\Omega=\mathbb N$ (Catalan) .
• $\Omega=\{1,2,3\}$ (Motzkin) .

另外这里 $\Omega$ 不需要元素互不相同 .

以后遇到有序树还是应该先想 $\mathrm{SEQ}$，每次枚举最左侧子树大小太混乱了 .

不过每次枚举最左侧子树大小可以限制子树大小，大体是一个「有限制卷积」这样的东西，我先仔细考察一下（