2023.12.3 闲话

整了个在线 ADOFAI 体验了一下，到了 3-X The Wind-Up (1.2x) 就没继续了（因为存档有一些问题），大概了 .

调考考成接福纳瑞了。。

joke3579 说了一个带平方的迭代列，我疑问了 .

歌：すとれいきゃっと - タケノコ少年 feat. 初音ミク .

转眼间就到十二月了啊 .

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被 joke 教育了 . 后面全程抄 joke 的符号化方法 .

对于 \(\Omega\supseteq\{0\}\)，定义 \(\Omega\) 树的组合类 \(\mathcal T^{\Omega}\) 是所有结点的儿子个数 \(\omega\in\Omega\) 的树组成的组合类 .

定义特征函数 \(\displaystyle\phi(t)=\sum_{\omega\in\Omega}t^{\omega}\)，则断言 \(\mathcal T^{\Omega}\) 的 OGF \(T^{\Omega}(z)\) 满足：

\[T^{\Omega}(z) = z\times \phi\left(T^{\Omega}(z)\right) \]

因为注意到每层的转移实际上是一个 \(\mathrm{SEQ}_{\in\Omega}\)，那么简单讨论就知道相当于复合 \(\phi\) .

要想提取可以拉反 . 就是 2023.11.15 闲话那样的（此处应该比那里要简单的多）.

Remark.

特殊情况：

• \(\Omega=\mathbb N\) (Catalan) .
• \(\Omega=\{1,2,3\}\) (Motzkin) .

另外这里 \(\Omega\) 不需要元素互不相同 .

以后遇到有序树还是应该先想 \(\mathrm{SEQ}\)，每次枚举最左侧子树大小太混乱了 .

不过每次枚举最左侧子树大小可以限制子树大小，大体是一个「有限制卷积」这样的东西，我先仔细考察一下（