基础后缀数据结构简记

$$\newcommand{\lcp}{\operatorname{lcp}}\newcommand{\endpos}{\operatorname{endpos}}\newcommand{\link}{\operatorname{link}}\newcommand{\maxl}{\operatorname{maxl}}\newcommand{\minl}{\operatorname{minl}}$$

约定 $n$ 是字符串长度 . $\lcp(s,t)$ 是 $s,t$ 的 LCP 的长度 .

目录

• 后缀数组
  • 后缀排序
  • height 数组
  • 常见应用
• 后缀自动机
  • 结构
  • 构建
  • 应用
  • 广义后缀自动机
• 后缀树
  • 后缀树
  • 构建

后缀数组

后缀排序

问题：将字符串 $S$ 的所有后缀排序 .

核心思想：倍增考虑，把从每个位置子串拆成两个减半长度的子串的双关键字排序 .

使用基数排序即可 $\Theta(n\log n)$，这里 $n$ 和字符集同阶 .

令 $sa_i$ 是第 $i$ 小的后缀的开头位置，$rk_i$ 是 $S[i:n]$ 的排名 .

Code

有一些常数优化的技巧可以看 OI-Wiki .

const int m = 1000000;
auto comp = [&](int i, int j, int k){return (y[i] == y[j]) && (y[i+k] == y[j+k]);};
for (int i=1; i<=n; i++) ++buc[x[i] = a[i]];
for (int i=1; i<=m; i++) buc[i] += buc[i-1];
for (int i=n; i>=1; i--) sa[buc[x[i]]--] = i;
for (int k=1; k<=n; k<<=1)
{
	int p = 0;
	for (int i=n-k+1; i<=n; i++) y[++p] = i;
	for (int i=1; i<=n; i++)
		if (sa[i] > k) y[++p] = sa[i] - k;
	memset(buc, 0, sizeof buc);
	for (int i=1; i<=n; i++) ++buc[x[y[i]]];
	for (int i=1; i<=m; i++) buc[i] += buc[i-1];
	for (int i=n; i>=1; i--) sa[buc[x[y[i]]]--] = y[i];
	swap(x, y);
	x[sa[1]] = p = 1;
	for (int i=2; i<=n; i++) x[sa[i]] = comp(sa[i], sa[i-1], k) ? p : ++p;
	if (p >= n) break;
	m = p;
}
for (int i=1; i<=n; i++) rk[sa[i]] = i;

height 数组

问题：求解 $h_i=\lcp(sa_i,sa_{i-1})$ .

核心思想：$h_{rk_i}\ge h_{rk_{i-1}}-1$，从而暴力做就是 $\Theta(n)$ 的 .

Code

for (int i=1, j=0; i<=n; i++)
{
	if (j) --j;
	while (a[i+j] == a[sa[rk[i]-1]+j]) ++j;
	h[rk[i]] = j;
}

常见应用

LCP：变成区间 height 数组的最小值 .

比大小：求出 LCP 后就好处理了 .

本质不同子串：考虑计数重复子串，仔细考察每次加一个子串肯定新增恰 $h_i$ 个子串，那么就做好了 .

我也没做啥题，就写这三个吧 .

后缀自动机

结构

我们期望得到一个 DFA，恰接受某个字符串 $S$ 的每个子串 .

对于一个子串 $T\subseteq S$，定义 $\endpos(T)$ 为 $S$ 中所有 $T$ 的结束位置所构成的集合 .

字符串的所有子串可以由 endpos 分为若干个等价类，下面称 $u,v$ 等价当且仅当 $\endpos(u)=\endpos(v)$ .

考虑由此构建一个自动机，其每个状态对应一种 endpos，这样的自动机就被称为 $S$ 的后缀自动机，转移就是表示每次加一个字符的影响，这里转移构成的 DAG 也被称作 DAWG . 最小性可以由 Myhill–Nerode 定理导出 .

断言：

1. 满足 $|u|\le|v|$ 的子串 $u,v$ 等价当且仅当 $u$ 在 $v$ 中的所有出现都作为 $v$ 的后缀 .
2. 对于子串 $u,v$，当 $u$ 是 $v$ 的后缀时 $\endpos(u)\subseteq\endpos(v)$ 否则 $\endpos(u)\cap\endpos(v)=\varnothing$ .
3. 对于一个等价类其中包含的子串长度肯定是连续的 .

其实仔细想想都是显然的，这里就不详细说明了 .

关于第三个性质，后令 $\maxl(u),\minl(u)$ 分别表示一种 endpos $u$ 对应的最长子串长度和最短子串长度 .

最好类似 AC 自动机，得到一个 fail 树状物，对于等价类 $u$，考察其所有后缀，记 $t$ 为和 $u$ 不在一个等价类里的的最长后缀，$v$ 是对应等价类，则连边 $(v,u)$ . 由此定义后缀链接 $\link(u)=v$ .

令根 $t_0$ 满足 $\endpos(t_0)=\{-1,0,\cdots,|S|-1\}$，则断言 $\link$ 关系组成一棵树（通常称为 parent 树）.

这是相对显然的，如果你注意到 $\minl(u)=\maxl(\link(u))+1$ 那么问题就不难了 .

parent 树所得到的树也可以表达 endpos 的包含关系，首先 endpos 的包含肯定组成树，那么只需要说明他们等价即可，问题也就是说明 $\text{endpos}(v) \subsetneq \text{endpos}(\text{link}(v))$，根据前面的结论这是显然的 .

从而，后缀自动机的基本结构已经被描摹完成 .

构建

这里采用增量构建，也就是说考虑每次加一个字符 $c$ 产生的影响（这也表明这个算法是在线的）.

假设加入前表示整个字符串的结点是 $lst$，加入后是 $now$，核心问题就是确定 $\link(now)$ . 不断跳 $lst$ 的 link 指针直到跳没了或者其存在一条走 $c$ 的转移边 . 记最终得到的点是 $p$，转到 $q$，考察 $p$ 这个位置的信息 .

如果跳没了那么肯定是连 $\link(now)=t_0$ 就完了，否则讨论：

• $\maxl(p)+1=\maxl(q)$，这时候相当于直接继承原来等价类，连 $\link(now)=p$ 即可 .
• $\maxl(p)+1\neq\maxl(q)$，这时加入 $c$ 会导致原等价类分裂，所以需要把 $p$ 拆成两份，一份作为原来的等价类，另一份作为 $\link(now)$ . 此时需要把指向 $q$ 的结点全部改成指向 $now$ 的 .

仔细地进行分析即可得到加入 $n$ 个字符的时间复杂度为 $\Theta(n)$（如果字符集较大需要使用 Hash，具体见生成魔咒）.
（具体复杂度分析看 OI-Wiki 吧）

详细算法流程：

Code

注意开二倍空间 .

// len : maxl
struct SAM
{
	int t[N][S], link[N], len[N], lst, cc;
	SAM() : lst(1), cc(1){}
	inline void extend(int c)
	{
		int p = lst, now = lst = ++cc;
		len[now] = len[p] + 1;
		while (p && !t[p][c]){t[p][c] = now; p = link[p];}
		if (!p){link[now] = 1; return ;}
		int q = t[p][c];
		if (len[q] == len[p] + 1){link[now] = q; return ;}
		int k = ++cc;
		memcpy(t[k], t[q], sizeof t[q]);
		len[k] = len[p] + 1; link[k] = link[q]; link[now] = link[q] = k;
		while (p && (t[p][c] == q)){t[p][c] = k; p = link[p];}
	}
};

应用

作为练习可以做一下弦论那题，很简单的（突然想起来 DAG 第 $k$ 大路径是 CSP 初赛题）.

求子串出现次数：也就是要求 endpos 集合的大小，子串也就是每个前缀的所有后缀，也就相当于把每个前缀对应的结点在 parent 树的根链上每个点贡献都加一，DFS 一遍即可 .

求本质不同子串数：每个等价类 $u$ 对应的子串个数就是 $\maxl(u)-\maxl(\link(u))$，全部加起来即可 .

求最长公共子串：考虑对一个字符串建 SAM，另一个字符串在上面跳，每次能转移就转移否则跳 link，对于所有位置取 max 即可（详见熟悉的文章）.

后缀 LCP：对于 $u,v$，$\maxl(\operatorname{lca}(u,v))$ 就是 $u,v$ 对应前缀的最长公共后缀（其实算后缀树的结论）.

广义后缀自动机

相当于对多个字符串的所有子串建立的后缀自动机 .

同样考虑每次加一个字符 $c$ . 对于每个串分别处理一个 $lst$ 依次加入，只有一种情况是额外的，也就是 $lst$ 途径 $c$ 的转移边存在的情况，设其到达点 $t$ .

讨论是类似的：

• $\maxl(t)=\maxl(lst)+1$，说明根本不用加，最后让 $lst\gets t$ 即可 .
• $\maxl(t)\neq\maxl(lst)+1$，类似地分裂 $t$ 即可 . 这里新的 $lst$ 应该是分裂出去的结点 .

那么就完了 . 代码基本是一样的我就不放了 .

后缀树

后缀树的东西我也不是很懂，摆了（

后缀树

问题：求出字符串 $S$ 所有后缀组成的（压缩）Trie .

这里压缩指压缩一条没有向外的边的链，因为只有 $O(n)$ 个叶子所以这里的结点数是 $O(n)$ 的 .

构建

其实也就是说要求所有叶子的虚树，考虑那个单调栈维护右链的构建方法，通过 SA 就天然维护了 .

或者也可以通过 SAM 构建，因为反串的 parent 树就是后缀树 .