2023.11.29 闲话

不得不考虑这样一个深刻的社会问题 .

meme

（看着 18:03 写下 2023.18.3 闲话）
（物理自习出去上厕所走到门外想起来显示器没关想回去关）

歌：Zero Talking - はるまきごはん feat 初音ミク .

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问题：算 \(\displaystyle\sum_{\pi\in S(n)}\prod_{i=1}^n[p_i\neq i]\)（错排） .

一个环是 \(-\ln(1-z)-z\)，所以 EGF 是 \(\exp(-\ln(1-z)-z)=\dfrac{\exp(-z)}{1-z}\) .

提取出来就是：

\[\left[\dfrac{z^n}{n!}\right]\dfrac{\exp(-z)}{1-z}=n!\sum_{i=0}^n\dfrac{(-1)^i}{i!} \]

这和我们熟知的结果是一致的 .