2023.11.28 闲话

举报学校的酱香饼里没有茅台 .

歌：ULTRA SYNERGY MATRIX - Tanchiky .

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问题：证明对于任意常数项等于 1 的多项式 $f$，$[z^n]f^k(z)$ 是关于 $k$ 的 $n$ 次多项式 .

Solution 1

因为 $f^k$ 是 D-finite 的所以考虑 $f^k$ 的 ODE：

$$f^k(z)'f(z)=k\cdot f^k(z)f'(z)$$

提取系数后观察或归纳即得 .

Solution 2

令 $g=\ln f,\,h=f^k=\exp(k\cdot g)$ . 那么有：

$$h_n=\dfrac1n\sum_{i=1}^ni\cdot h_{n-i}\cdot(k\cdot g_{n-i})$$

观察或归纳即得 .