2023.11.27 闲话

NOIP 是真正出分了，好像最终留下来的人都定的差不多了 .

想了一个感觉比较有意思的（组合）题，有人想看吗（

（仅限 hzoi 内部成员）

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前情提要 .

那么我来做第 6 题了 . 问题：计算 \(n\) 个点的无标号有根树个数 \(r_n\) .

第一问没啥可说的，相信大家都会 .

从下面开始算的是 \(\displaystyle r(n)=\prod_{i\ge 1}\dfrac1{(1-z^i)^{r_i}}\)，不知道是不是因为原文顶点定义有差异所以得出的 OGF 不一样 .

第二问的话根据 Euler 变换的结论就知道：

\[r(z)=z\cdot\exp\left(\sum_{i\ge1}\dfrac{F(z^i)}i\right) \]

两边同时求导并乘 \(z\) 即可导出：

\[z\cdot r'(z)=r(z)+r(z)\sum_{i\ge 0}r'(z^i)z^i \]

注意到：

\[\begin{aligned}[z^n]\sum_{i\ge 1}r'(z^i)z^i&=\sum_{i\ge 1}[z^{n-i}]r'(z^i)\\&=\sum_{d\mid n}\left(\dfrac{n-d}d+1\right)r_{\frac{n-d}d+1}\\&=\sum_{d\mid n}d\cdot r_d\end{aligned} \]

回代并提取系数即得 .

顺便一提这个相当于在线卷积所以可以直接 \(\Theta(\mathsf R(n))\) 计算 .