2023.11.26 闲话

歌：龙拳 - 周杰伦 .

无论 NOIP 的结果如何，希望大家将来回忆起 OI 时，都会获得一段愉悦的回忆 .
（这句话没想到什么好的组句方法，怎么就我不会语文）

感谢 Rainybunny 持续更新的小绒尾与星星湖系列 .

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马上文化课训练结束了，看看离散数学 .

离散数学教材

所以为什么图论章节会专门有一节全是数数的啊？

先做一下第 4 题吧（计算 \(n\) 个点 \(k\) 个叶子的有标号有根树数量），有错请指出（因为我没找到答案）.

后面的题有空可能以后会做，来的（虽然做完第 4 题之后我感觉第 5 题不咋可做，不过第 6 题应该不难）.

考察 \(a_{n,k}\)，加一个点可以得到递推：

\[a_{n,k}=k\cdot a_{n-1,k}+(n-k)\cdot a_{n-1,k-1} \]

可能这种递推有点太重量级了 . 令 \(F_n(z)\) 是第 \(n\) 行的 OGF，考察 \(G_n(z)=\dfrac{z\cdot F_n(z)}{1-z}\) .

我们发现此时对于 \(G\) 的一步递推就只是施加 \(\dfrac{\mathrm d(z(1-z))}{\mathrm dz}\) .

考虑施某种变换 \(z\to t\) 使得 \(H=G\circ t\) 有简单的递推 \(H_n(t)=t\cdot H_{n-1}'(t)\)，注意到 \(t\) 只需要是 \(z(1-z)t'\) 的解，可以简单计算 . 计算出 \(H\) 后拉反即得 \(F\) .

详细讨论见 CTS2023 另一个欧拉数问题 . 因为机房把洛谷封了所以看不了 Alpha1022 的迭代列博了 /kel

所以答案是什么呢？

离散数学习题里有这种东西确实有点过于重量级了，不过我也不知道这个题目应该怎么求解，他给的那个论文 A. Rényi. "Some remarks on the theory of trees" 我也搜不到 . 摆 .

生成函数的世界还是太凶险了（

差的知识点有点多，可能以后不会经常写闲话了（而且我的推歌是存在洛谷的也看不了了）.