2023.11.8 闲话

歌：练为战 - 刘国建 黄金钢 .

有没有雪未来歌？额 .

唉，模拟赛太优秀了 .

To the Funky World .

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有 $n$ 个在 $[0,1]$ 之间均匀分布的连续型随机变量，求它们的第 $k$ 小的期望 .

答案是 $\dfrac k{n+1}$ .

Solution 1

首先 CDF 直接考虑每个变量的贡献：

$$F(x)=\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom nix^i(1-x)^{n-i}$$

根据期望和 CDF 的关系可以得到期望：

$$\begin{aligned}\mathrm E&=\int_0^1\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni(1-x)^ix^{n-i}\mathrm dx\\&=\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni\int_0^1(1-x)^ix^{n-i}\mathrm dx\\&=\sum_{i=0}^{k-1}\dbinom ni\dfrac{i!(n-i)!}{(n+1)!}&\text{(Beta)}\\&=\dfrac k{n+1}\end{aligned}$$

Solution 2

$n=k$ 的情况是 trivial 的，直接对 CDF 积即可：

$$\mathrm E=\int_0^1k\cdot x^k\mathrm dx=\dfrac k{k+1}$$

对于别的情况考虑 min-max 容斥：

$$\begin{aligned}\mathrm E&=\sum_{i\ge 0}\dbinom{i-1}{k-1}\dbinom ni(-1)^{i-k}\cdot\dfrac i{i+1}\\&=\dfrac k{n+1}\sum_{i\ge 0}\dbinom ik\dbinom{n+1}{i+1}(-1)^{i-k}\\&=\dfrac k{n+1}\left(\sum_i\dbinom ik\dbinom{n+1}{i+1}(-1)^{i-k}-\dbinom{-1}k(-1)^{k-1}\right)\\&=\dfrac k{n+1}\left(1+(-1)^{-k}\cdot[z^k]\sum_i\dbinom{n+1}{i+1}(-1)^i\sum_k\dbinom ikz^k\right)\\&=\dfrac k{n+1}\left(1+(-1)^{-k}\cdot[z^k]\sum_i\dbinom{n+1}{i+1}(-1)^i(1+z)^i\right)\\&=\dfrac k{n+1}(1+(-1)^{n-k}\cdot[z^k](1+z)^{-1}\cdot z^{n+1})\\&=\dfrac k{n+1}(1+0)\\&=\dfrac k{n+1}\\\end{aligned}$$

Solution 3

答案相当于新插入一个数 $n+1$ 的排名 $\le k$ 的概率，那么就是 $\dfrac{k\cdot n!}{(n+1)!}=\dfrac k{n+1}$ .

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Bonus：

Random Kth Max

有 $n$ 个连续随机变量 $X_{1\dots n}$，$X_i$ 在 $[l_i, r_i]$ 上连续均匀分布，求这 $n$ 个变量的 $k$ 大值的期望 .

$1\le n\le 50$，$0\le l_i < r_i \le 100$，$l_i,r_i$ 是整数，对 $998244353$ 取模 .

把 Random Max 加个 min-max 容斥就完了