2023.11.10 闲话

Manhattan Subarrays II

对于一列点 $\{x_k\}$，若

$$\operatorname{dist}(x_1,x_k)=\sum_{i=1}^{k-1}\operatorname{dist}(x_i,x_{i+1})$$

（其中 $\operatorname{dist}(x,y)$ 是 Manhattan 距离）

则称 $\{x\}$ 是好的 .

给一列点 $\{a_n\}$ 和正整数 $k$，问有多少个子段不存在长为 $k$ 的好子序列 .

$1\le n\le 10^5$，$1\le k\le 10$ .

显然一列点是好的当且仅当它们每维都是单调的 . 观察可以发现不存在长度不小于 $k^2$ 的好序列，因为有某定理：

Theorem (Erdos–Szekeres)

$(S,\prec)$ 为偏序集，$m,n\in\mathbb N^+$，$|S|=mn+1$，那么 $S$ 存在长为 $m+1$ 的链或长为 $n+1$ 的反链 .

然后暴力就完了，时间复杂度 $\Theta(nk^2)$ .