2023.11.7 闲话

我要容斥！！

我要抢 Sonnety 活

那我直接拿一个转置原理糊容斥上，是不是就不抽象了？

Hermite 多项式咋 \(\Theta(\mathsf M(n))\) 求？

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APJ 之言可谓是切中了问题的？

拉格朗日乘数法：

求函数 \(f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\) 的极值，有若干限制 \(\varphi_i(x_1,x_2,\cdots,x_n)=0\) .

那么引入 \(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\)，定义拉格朗日函数：

\[L(\bm x,\bm \lambda)=f(\bm x)+\sum_{i=1}^k\lambda_i\cdot\varphi_i(\bm x) \]

则极值点是方程的解：

\[\begin{cases}\forall x_i,\,\frac{\partial L}{\partial x_i}=0\\\forall\lambda_i,\,\frac{\partial L}{\partial\lambda_i}=0\end{cases} \]

Sample

\[\begin{aligned}\text{maximize }&\sum_{i=1}^np_i(1-p_i)i\\\text{s.t. }&\sum p_i=1\\&p_i\ge 0\end{aligned} \]

限制 \(\varphi(p_i)=1-\sum_{i=1}^np_i\)，那么：

\[\begin{cases}i-2\cdot i\cdot p_i-\lambda=0\\\sum p_i=1\end{cases} \]

因为还有一个 \(p_i\ge 0\) 所以需要枚举有多少个 \(\{p\}\) 中有多少个 0 .

骑行川藏

\[\begin{aligned}\text{minimize }&\sum_{i=1}^n\dfrac{s_i}{v_i}\\\text{s.t. }&\sum_{i=0}^nk_i(v_i-v'_i)^2\cdot s_i\le E_U\end{aligned} \]

（\(v_i\) 是变量）

那个不等式肯定是取等最优，那么拉格朗日乘数法就得到：

\[\begin{cases}2\cdot\lambda\cdot k_i\cdot v_i^2\cdot(v_i-v'_i)=-1\\\sum_{i=0}^nk_i(v_i-v'_i)^2\cdot s_i=E_U\end{cases} \]

有单调性，二分 \(\lambda\) 即可 .

游戏

\[\begin{aligned}\text{nsho }&\sum_{i=1}^np_i(1-q_i)a_i\\\text{s.t. }&\sum p_i=\sum q_i=1\\&p_i\ge0,\,q_i\ge0\end{aligned} \]

（\(p_i,q_i\) 是变量）

注：\(\text{nsho }v(p,q)\) 表示对于任意 \(p'\) 有 \(v(p',q)\ge v(p,q)\)，对于任意 \(q'\) 有 \(v(p,q')\le v(p,q)\) .

\(\text{nsho}\) 和正常的 \(\text{maximize}\) 或 \(\text{minimize}\) 做法是相似的，列出式子之后对每维导一下即可 . 需要枚举前缀 0 的个数限制 \(p_i\ge0,\,q_i\ge0\) . 大概和 Sample 那个题差不多 .

感谢 APJifengc 后面忘了 .