2023.11.4 闲话

感谢 APJ 提供如何在 cnblogs 放 JS 的指导）

Another side .

image

歌：Kissin' 燃料で治癒したい - でんの子P feat. 桃寝ちのい .

---

问题：$n$ 个点的图，对于所有 $i<j$ 有边 $(i,j)$，权值为 $w_{i,j}$ . 求 $1$ 到 $n$ 恰经过 $k$ 条边的最短路 $f(k)$ .

欲证明：若 $w$ 是 Monge 阵（即满足四边形不等式），则 $f$ 是凸的（即 $f(k+1)-f(k)\ge f(k)-f(k-1)$）.

考虑证明对于所有 $s<r<t$ 有 $f(s)+f(t)\ge f(r)+f(s+t-r)$，后取 $s=k-1,\,r=k,\,t=k+1$ 即得 .

令 $f(s)$ 对应的方案为 $p_{1\dots s+1}$，$f(t)$ 对应的方案为 $q_{1\dots t+1}$ .

令 $v=r-s$，若存在 $i\in[1,s]$ 满足 $p_i\le q_{i+v}<q_{i+v+1}\le p_{i+1}$，则取路径 $p_{1\dots,i},q_{i+v+1,\dots,t+1}$ 和 $q_{1\dots,i+v},p_{i+1,\dots,s+1}$ 为长度为 $s+t-r$ 和 $r$ 的路径，根据四边形不等式

$$w_{p_i,q_{i+v+1}}+w_{p_{i+1},q_{i+v}}\le w_{p_i,p_{i+1}}+w_{q_{i+v},q_{i+v+1}}$$

可以得到 $f(s)+f(t)$ 不小于这两条路径的长度和，进而 $f(s)+f(t)\ge f(r)+f(s+t-r)$ .

下面说明一定存在这样的 $i$ . 以 $p$ 为分割点将 $(1,n]$ 分为 $s$ 段：$(p_1,p_2],(p_2,p_3],\cdots,(p_{s-1},p_s]$ . 令 $a_i$ 表示 $q_{i+v}$ 在哪一段，且 $b_i=a_i-i$ .

注意到 $\{b\}$ 满足 $b_i-b_{i-1}\ge -1$，又 $b_1\ge 0,\,b_{s+1}\le -1$，从而一定存在 $b_i=-1$ . 取第一个 $i$ 使得 $b_{i+1}=-1$，则 $b_i=0$，从而 $a_i=a_{i+1}=i$ . 那么根据 $a_i$ 的定义即可得到 $p_i\le q_{i+v}<q_{i+v+1}\le p_{i+1}$，即找到一个合法的 $i$ .

$$\tag*{$\square$}$$

Reference. 彭思进《决策单调性与四边形不等式》