2023.11.4 闲话

感谢 APJ 提供如何在 cnblogs 放 JS 的指导）

Another side .

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歌：Kissin' 燃料で治癒したい - でんの子P feat. 桃寝ちのい .

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问题：\(n\) 个点的图，对于所有 \(i<j\) 有边 \((i,j)\)，权值为 \(w_{i,j}\) . 求 \(1\) 到 \(n\) 恰经过 \(k\) 条边的最短路 \(f(k)\) .

欲证明：若 \(w\) 是 Monge 阵（即满足四边形不等式），则 \(f\) 是凸的（即 \(f(k+1)-f(k)\ge f(k)-f(k-1)\)）.

考虑证明对于所有 \(s<r<t\) 有 \(f(s)+f(t)\ge f(r)+f(s+t-r)\)，后取 \(s=k-1,\,r=k,\,t=k+1\) 即得 .

令 \(f(s)\) 对应的方案为 \(p_{1\dots s+1}\)，\(f(t)\) 对应的方案为 \(q_{1\dots t+1}\) .

令 \(v=r-s\)，若存在 \(i\in[1,s]\) 满足 \(p_i\le q_{i+v}<q_{i+v+1}\le p_{i+1}\)，则取路径 \(p_{1\dots,i},q_{i+v+1,\dots,t+1}\) 和 \(q_{1\dots,i+v},p_{i+1,\dots,s+1}\) 为长度为 \(s+t-r\) 和 \(r\) 的路径，根据四边形不等式

\[w_{p_i,q_{i+v+1}}+w_{p_{i+1},q_{i+v}}\le w_{p_i,p_{i+1}}+w_{q_{i+v},q_{i+v+1}} \]

可以得到 \(f(s)+f(t)\) 不小于这两条路径的长度和，进而 \(f(s)+f(t)\ge f(r)+f(s+t-r)\) .

下面说明一定存在这样的 \(i\) . 以 \(p\) 为分割点将 \((1,n]\) 分为 \(s\) 段：\((p_1,p_2],(p_2,p_3],\cdots,(p_{s-1},p_s]\) . 令 \(a_i\) 表示 \(q_{i+v}\) 在哪一段，且 \(b_i=a_i-i\) .

注意到 \(\{b\}\) 满足 \(b_i-b_{i-1}\ge -1\)，又 \(b_1\ge 0,\,b_{s+1}\le -1\)，从而一定存在 \(b_i=-1\) . 取第一个 \(i\) 使得 \(b_{i+1}=-1\)，则 \(b_i=0\)，从而 \(a_i=a_{i+1}=i\) . 那么根据 \(a_i\) 的定义即可得到 \(p_i\le q_{i+v}<q_{i+v+1}\le p_{i+1}\)，即找到一个合法的 \(i\) .

\[\tag*{$\square$} \]

Reference. 彭思进《决策单调性与四边形不等式》