2023.11.2 闲话

跟 APJ 交流后才看懂 10circle 对 Azune FFT 的评论「啊？？？好多，没见过的东西。」

想让别人看懂，又不想写解析？什么啊 .

总有一天我要做出一篇带 JS 的鲜花

不过还是推荐大家看看 Azune FFT，直接搜就能搜到 链接 .

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看到 2023.7.6 闲话，唉 .

赛博朋克

对于常数 \(k\)，定义 \(\mu_k(n)\) 为 \(n\) 中次数介于 \([2,k]\) 的素因子数量 .

给定正整数 \(n,k\)，求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^n\mu_k(i)\) .

略 . 时间复杂度 \(\Theta(n^{2/3})\) .

1984

对于常数 \(t\)，定义函数 \(\eta_t(n)\) 满足：

• \(\eta_t(1)=1\) .
• 对于素数 \(p\)，\(\eta_t(p^c)=\dfrac{(p^t-1)^c}{(p^t-p^{t-1})^c}\) .
• 对于 \(a\perp b\)，\(\eta_t(ab)=\eta_t(a)\eta_t(b)\) .

给定正整数 \(n,t\)，求 \(\displaystyle\sum_{i=1}^ni\cdot\eta_t(i)\cdot\lambda(i)\)，其中 \(\lambda\) 是刘维尔函数 .

直接考察 \(f(n)=n\cdot\eta_t(n)\cdot\lambda(n)\) 的 DGF：

\[\begin{aligned}F(z)&=\prod_{p\in\mathbb P}\sum_{k\ge 0}(-1)^k\left(\dfrac{p^t-1}{p^t-p^{t-1}}\right)^k\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\sum_{k\ge 0}(-1)^k\left(\dfrac{1-p^{-t}}{1-p^{-1}}\right)^k\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\sum_{k\ge 0}\dfrac{(-1)^k}{p^{kz}}\left(\sum_{i=0}^{t-1}p^{-iz}\right)^k\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\sum_{k\ge 0}\left(\sum_{i=1}^t-p^{-iz}\right)^k\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac1{\sum_{i=0}^tp^{-iz}}\\&=\prod_{p\in\mathbb P}\dfrac{1-p^{-z}}{1-p^{-tz}}\\&=\dfrac{\zeta(tz)}{\zeta(z)}\end{aligned} \]

杜教筛 \(\Theta(n^{2/3})\) .

凄凉的世界，走投无路了 .