2023.10.29 闲话

C++ 的 ADL 确实是非常好的，不过我好像又不会另类拉反了 .

2k3h 改名 tkt 了，蔡老板直呼

后缀斯特林数

给 \(n,k\)，对于 \(0\le i\le k\)，求 \({n\brace n-i}\) 和 \({n\brack n-i}\) .

qwaszx 表示有一个 \(\Theta(k\log k)\) 的做法：Link .

这个问题的关键在于下面两个式子：

\[\begin{aligned}&\left(\dfrac z{\ln(1+z)}\right)^n=\sum_{i\ge 0}\dfrac{z^i}{i!}{n\brace n-i}\bigg/\dbinom{n-1}i\\&\left(\dfrac z{1-\mathrm e^{-z}}\right)^n=\sum_{i\ge 0}\dfrac{z^i}{i!}{n\brack n-i}\bigg/\dbinom{n-1}i\end{aligned} \]

（斯特林数一行的 EGF）

两个是差不多的，下面以第一个为例说明 .

首先熟知列的 EGF（洛谷模板题解区就有证明）：

\[\begin{aligned}\sum_{n\ge k}\dfrac{z^n}{n!}{n\brace k}=\dfrac{(\mathrm e^z-1)^k}{k!}\end{aligned} \]

使用拉格朗日反演：

\[\begin{aligned}\,[z^n]\left(\dfrac z{\ln(1+z)}\right)^k&=\dfrac{k-1}n[z^n](\mathrm e^z-1)^k\\&=\dfrac{k-1}n\dfrac{n!}{k!}{n\brace k}\\&=\dfrac{(n-1)!}{(k-1)!}{n\brace k}\end{aligned} \]

容易验证到这里和原式等价 .

主要是注意到一些复合逆关系：

\[\dfrac z{\ln(1+z)}\,-\,\mathrm e^z-1\qquad\dfrac z{1-\mathrm e^{-z}}\,-\,\ln\dfrac1{1-z} \]

但是为什么 aligned 开头写 [z^n] 不行啊！能不能把方括号里面不是长度单位的全正常显示？

看 NaCly_Fish 整得我都想写 Stirling 和 Lagrange 了（