2023.10.27 闲话

最近看 Sonnety,才知道 MOTTAI 是啥意思(逗号是必要的吗?)。

推歌:ボルテッカー - DECO*27 feat. 初音ミク .


上一篇闲话我直接就写了:

i=1niφ(i)=i=1nμ(i)iS(ni)where S(n)=i=1ni2

而没有什么注解,不符合我的风格 . 为了让大家都能读懂这里详细说明一下 .

你得先看典中典:整除 Möbius 反演 .

令自然数幂和 Sk(n)=i=1nik,想要证明:

i=1nikφ(i)=i=1nμ(i)ikSk+1(ni)

先反演一下:

Sk+1(n)=i=1nikj=1nijkφ(j)

使用交换求和号和一些变换:

Sk+1(n)=j=1nijik(ji)kφ(ji)=j=1njkijφ(ji)=j=1njk+1

证毕 .

进而可以对 Φk(n)=i=1nikφ(i) 做渐进分析:

Φk(n)i=1nμ(i)ik(n/i)k+2=nk+2i=1nμ(i)i2=6π2nk+2

也就是 Φk(n)=Θ(nk+2) .

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