2023.10.27 闲话

最近看 Sonnety，才知道 MOTTAI 是啥意思（逗号是必要的吗？）。

推歌：ボルテッカー - DECO*27 feat. 初音ミク .

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上一篇闲话我直接就写了：

\[\sum_{i=1}^ni\cdot\varphi(i)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\cdot i\cdot S\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right)\qquad\text{where }S(n)=\sum_{i=1}^ni^2 \]

而没有什么注解，不符合我的风格 . 为了让大家都能读懂这里详细说明一下 .

你得先看典中典：整除 Möbius 反演 .

令自然数幂和 \(S_k(n)=\sum\limits_{i=1}^ni^k\)，想要证明：

\[\sum_{i=1}^ni^k\cdot\varphi(i)=\sum_{i=1}^n\mu(i)\cdot i^k\cdot S_{k+1}\left(\left\lfloor\dfrac ni\right\rfloor\right) \]

先反演一下：

\[S_{k+1}(n)=\sum_{i=1}^ni^k\sum_{j=1}^{\lfloor\frac ni\rfloor}j^k\cdot\varphi(j) \]

使用交换求和号和一些变换：

\[\begin{aligned}S_{k+1}(n)&=\sum_{j=1}^n\sum_{i\mid j}i^k\cdot (\tfrac ji)^k\cdot\varphi(\tfrac ji)\\&=\sum_{j=1}^nj^k\sum_{i\mid j}\varphi(\tfrac ji)\\&=\sum_{j=1}^nj^{k+1}\end{aligned} \]

证毕 .

进而可以对 \(\displaystyle\Phi_k(n)=\sum_{i=1}^ni^k\cdot\varphi(i)\) 做渐进分析：

\[\begin{aligned}\Phi_k(n)&\sim\sum_{i=1}^n\mu(i)\cdot i^k\cdot(n/i)^{k+2}\\&=n^{k+2}\sum_{i=1}^n\dfrac{\mu(i)}{i^2}\\&=\dfrac6{\pi^2}\cdot n^{k+2}\end{aligned} \]

也就是 \(\Phi_k(n)=\Theta(n^{k+2})\) .