关于 EI 的三次多项式复合的一些注解

感谢 APJifengc 指导 .

看了 xiaoziyao 的复合，大概理解 EI 的思路了，但是似乎细节上存在一些问题，在此注记 .

下文「复合」均指右复合 .

前置内容

复合二次分式的内容可以参考参考文献 [2] .

复合 $ax+b$

先考虑如何复合 $x+c$ .

$$\begin{aligned}\mathrm{ans}&=\sum_{i\ge 0}a_i(x+c)^i\\&=\sum_{i\ge 0}a_i\sum_{k=0}^i\dbinom ikx^kc^{i-k}\\&=\sum_{k\ge 0}\dfrac{x^k}{k!}\sum_{i\ge k}\dfrac{i!}{(i-k)!}a_ic^{i-k}\end{aligned}$$

差卷积即可 .

复合 $ax$ 是平凡的，那么可以简单解决复合一次多项式的问题 .

复合 $\frac{ax+b}{cx+d}$

令 $F^{\sf R}$ 是 $F$ 的系数翻转，那么显然有 $F^{\sf R}(x)=x^{\deg F}F(\frac 1x)$ .

取系数 $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ . 翻转系数，复合 $\alpha x+\beta$ 得到 $(\alpha x+\beta)^nF(\frac1{\alpha x+\beta})$，再翻转并复合 $\gamma x+\delta$ 得到 $\frac{1}{(\beta\gamma x+\delta\beta+\alpha)^n}F(\frac{\gamma x+\delta}{\beta\gamma x+\delta\beta+\alpha})$，解方程即可 .

注意这里算完之后需要一次求逆，求逆带来的后果就是需要截断，所以在后面还有其他复合的时候需要特殊考虑 .

复合 $ax^3+bx^2+cx+d$

基本思路

Part 1 规约至复合 $\bm{x^3+cx}$

取系数 $\alpha,\beta,\gamma$，那么依次复合 $ax+\gamma,x^3+\beta x,x+\alpha$ 则得到：

$$(ax+\gamma)\circ(x^3+\beta x)\circ(x+\alpha)=ax^3+3a\alpha x^2+(3a\alpha^2+a\beta)x+\alpha^3+\alpha^2\beta+\gamma$$

那么只需要解出 $\alpha,\beta,\gamma$（显然有解）即可把问题规约至复合 $x^3+cx$ .

Part 2 规约至复合 $\bm{x^3-3x}$

断言：解决复合 $x^3+cx$ 只需要解决任一 $c_0\neq 0$ 的情况 .

取系数 $\eta,\theta$，考察 $(\eta x)\circ(x^3-c_0x)\circ(\theta x)$ 即得（不再展开过程） . 此处无解需要扩域 .

不妨考虑解决 $x^3-3x$ 的情况 .

Part 3 解决复合 $\bm{x^3-3x}$

因为有

$$(x^3-3x)\circ\left(x+\dfrac 1x\right)=x^3+\dfrac1{x^3}$$

所以可以得到 $x^3-3x=(x+\frac 1x)\circ x^3\circ(x+\frac 1x)^{\langle-1\rangle}$ .

注意到：

$$x+\dfrac 1x=(2x)\circ\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\circ x^2\circ\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)$$

那么可以直接得到：

$$x^3-3x=(2x)\circ\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\circ x^2\circ\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\circ x^3\circ\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\circ\sqrt x\circ\left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)\circ\left(\dfrac x2\right)$$

依次解决即可 .

算法流程

因为之前提到过的复合一次分式的截断问题，这里还需要详细讨论一下 .

下称「变换」为 $F(x)\to (x-1)^{\deg F}F(\frac{x+1}{x-1})$ .

下面直接描述复合 $x^3-3x$ 的过程（略去复合 $2x$ 和 $\frac x2$ 的部分）

编号	操作	变化	次数
0	qwq	$F(x)$	$n$
1	变换	$(x-1)^nF(\frac{x+1}{x-1})$	$n$
2	复合 $x^2$	$(x^2-1)^nF(\frac{x^2+1}{x^2-1})$	$2n$
3	变换	$((\frac{x+1}{x-1})^2-1)^n(x-1)^{2n}F(\frac{x^2+1}{2x})=4^nx^nF(\frac{x^2+1}{2x})$	$2n$
4	除 $4^n$	$x^nF(\frac{x^2+1}{2x})$	$2n$
5	复合 $x^3$	$x^{3n}F(\frac{x^6+1}{2x^3})$	$6n$
6	变换	$(\frac{x+1}{x-1})^{3n}(x-1)^{6n}F(\frac{x^6-3x^2+1}{x^6-3x^2-1})=(x^2-1)^{3n}F(\frac{x^6-3x^2+1}{x^6-3x^2-1})$	$6n$
7	复合 $\sqrt x$	$(x-1)^{3n}F(\frac{x^3-3x+1}{x^3-3x-1})$	$3n$
8	变换	$(\frac{x+1}{x-1}-1)^{3n}(x-1)^{3n}F(x^3-3x)=2^{3n}F(x^3-3x)$	$3n$
9	除 $8^n$	$F(x^3-3x)$	$3n$

对于 EI 代码的一些注解：taylor 是平移（复合 $x+a$），mobius 是变换 .

参考资料

• [1] 多项式右复合的一些特殊情况 - xiaoziyao
• [2] 任意二次分式均可于 nlogn 时间复合 - 飞雨烟雁
• [3] 关于三次多项式复合的一个注记 - Elegia
• [4] 和 APJifengc 的一些交流