2023.10.13 闲话

网红组合恒等式：

\[\sum_{k=0}^n(-1)^k\dbinom{2n-k}k2^{2n-2k}=2n+1 \]

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我也来蹭个热度！

\[\begin{aligned}\mathrm{LHS}&=\sum_{k=0}^n(-1)^{n-k}\dbinom{n+k}{n-k}4^k\\&=[y^n]\dfrac1{1+y}[x^n]\sum_{n\ge0}\sum_{k=0}^n\dbinom{n+k}{n-k}4^k\cdot x^ny^k\\&=[x^ny^n]\dfrac1{1+y}\sum_{k\ge0}(4y)^k\sum_{n\ge k}\dbinom{n+k}{2k}x^n\\&=[x^ny^n]\dfrac1{1+y}\sum_{k\ge 0}(4y)^k\cdot\dfrac{x^k}{(1-x)^{2k+1}}\\&=[x^ny^n]\dfrac{(x-1)^2}{(1+y)(x^2-4xy-2x+1)}\\&\overset?=2n+1\\&=\mathrm{RHS}\end{aligned} \]

过程未经验证，\(\overset?=\) 那个位置我没有推导 . 整体思路应该没有什么大问题 .

交错和比普通和好算吗？

看了一眼 MathOverflow 上的回答，额，先不评价 .