2023.10.12 闲话

其实这个东西是拿 /usr/bin/lsmod 改的，希望大家去看看 lsmod 的原文！（？

紫荆花之恋

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算 \(\displaystyle f(n)=\sum_{d\mid n}\sqrt d\) 的期望？？

唉其实直接算就行了：

\[\dfrac1n\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}\sqrt d=\sum_{i=1}^n\sqrt i\cdot\dfrac ni=\sum_{i=1}^n\dfrac1{\sqrt i}=O(\sqrt n) \]

额换成 \(\alpha\) 的就是：

\[\mathrm{LHS}=\sum_{i=1}^n\sum_{d\mid i}d^{\alpha}=\sum_{i=1}^ni^{\alpha}\cdot\dfrac ni=n\sum_{i=1}^ni^{\alpha-1}=O(n^{\alpha+1}) \]

还是那本书厉害，那么它就是说：

\[\sum_{i=1}^ni^{\alpha}=\dfrac{\zeta(\alpha+2)}{\alpha+2}\cdot n^{\alpha}+O(n^{\max\{0,\alpha\}}) \]

最大值？直接考虑 \(\alpha\) 的情况：

先分治吧，\(>n^a\) 的和最多就是 \(O(n^{(1-a)+\alpha})\) .

\(<n^a\) 的最多 \(n^{\frac13}\) 个，把它们全放到 \(n^a\) 上就是 \(O(n^{\frac13+a\cdot\alpha})\) .

那我直接取 \(a=\frac{\frac23+\alpha}{\alpha+1}\) 就得 \(O(n^{\frac{\frac13+\alpha+\alpha^2}{\alpha+1}})\) . 上界可能不是很紧 .

对应 \(\alpha=2\) 就是 \(O(n^{\frac{13}{18}})\) .