2023.10.11 闲话

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完全可追溯化随机访问双端队列

维护一个双端队列的操作序列，支持以下修改 / 询问：

1. $\operatorname{Insert}(t,\operatorname{pushL}(x))$，在第 $t$ 次操作后插入将元素 $x$ 从左端加入双端队列操作 .
2. $\operatorname{Insert}(t,\operatorname{pushL}(x))$，在第 $t$ 次操作后插入将元素 $x$ 从右端加入双端队列操作 .
3. $\operatorname{Insert}(t,\operatorname{popL}())$，在第 $t$ 次操作后插入弹出左端第一个数操作 .
4. $\operatorname{Insert}(t,\operatorname{popR}())$，在第 $t$ 次操作后插入弹出右端第一个数操作 .
5. $\operatorname{Delete}(t)$，删除第 $t$ 次操作 .
6. $\operatorname{Query}(t,i)$，询问 $t$ 时刻后双端队列中 $i$ 位置的值 .

考虑分别维护被 $\operatorname{pushL}(x)$ 插入的元素和被 $\operatorname{pushR}(x)$ 插入的元素 . 考虑双端队列的一种实现方式：维护序列 $\{a\}$，初始 $l=1,r=0$：

• $\operatorname{pushL}(x)$：$l\gets l-1$，$a_l=x$ .
• $\operatorname{pushR}(x)$：$r\gets r+1$，$a_r=x$ .
• $\operatorname{popL}()$：$l\gets l+1$ .
• $\operatorname{popR}()$：$r\gets r-1$ .

那么一次询问只需要知道 $i$ 和 $a_i$ 就行了 . 维护两棵平衡树 $T_{\rm L},T_{\rm R}$，对应平衡树只存对应的 $\rm push,pop$ 操作，权值分别为 $1,-1$ . 那么求 $t$ 时刻的 $i$ 值只需要在平衡树上求一下前缀和就可以了 .

$a_i$ 的值肯定是最后一次 $\operatorname{pushL}(x)$ 后 $l=i$ 的操作或者最后一次 $\operatorname{pushR}(x)$ 后 $r=i$ 的操作，分别平衡树二分后比较即可 .

时间复杂度单次操作 $O(\log m)$ .

$\frak{ZG}$。